问题补充:
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点E在第一象限内的此抛物线上,且OE⊥BC于D,求点E的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段PA与PE之差的值最大?若存在,请求出这个最大值和点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)根据题意,得A(-2,0)、C(0,3).
∵抛物线过A(-2,0)、C(0,3)两点,
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+3.
(2)由y=-x2+x+3可得B点坐标为(3,0).
∴OB=OC=3.
∵OD⊥BC,
∴OD平分∠BOC.
∴点E的横坐标等于纵坐标.
设E(x,y).
解方程组
得,
∴点E的坐标为(2,2).
(3)在抛物线的对称轴上存在一点P,
使线段PA与PE之差的值最大.
当点P为抛物线的对称轴和BE所在的直线y=-2x+6的交点时,
PA-PE=PB-PE=BE,其值最大.
BE==.
由
解得
∴点P的坐标为(,5).
∴点P为(,5)时PA-PE的最大值为.
解析分析:(1)已知了OA、OC的长,即可得出A、C两点的坐标,然后将两点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式.
(2)不难得出B点坐标为(3,0),因此△OBC是等腰直角三角形,如果OE⊥BC,那么E点必为直线y=x与抛物线的交点,由此可求出E点的坐标.
(3)由于B点就是A点关于对称轴的对称点,因此只需求出直线BE与抛物线对称轴的交点即可得出P点的坐标.那么PA、PE的差的最大值就是BE的长,可根据BE的坐标来求出这个最大值.
点评:考查二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力.要注意的是(3)中确定P点的位置是解题的关键.
在平面直角坐标系xOy中 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A B两点(点A在原点的左侧 点B在原点的右侧) 与y轴交于点C 且OA=2 OC=3.(1)求抛物线的