问题补充:
已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(x+2)+2f(-x)=0;给出下列结论:①f(2)=0②f(x+2)=2f(x)③f(x+4)=4f(x)④f(x+6)=6f(x)其中正确的结论的个数是A.4B.3C.2D.1
答案:
B
解析分析:①由f(x+2)+2f(-x)=0得f(x+2)=-2f(-x),令x=0结合奇函数,有f(0)=0,从而可求f(2);
②由f(x-2)=-f(x)可得f(x-4)=-f(x-2)=f(x)可对②进行判断;
③由上面可得f(x+4)=2f(x+2)=4f(x),故③正确;
④采用赋值法可得f(x+6)=2f(x+4)=8f(x),故④不正确.
解答:(1)∵f(x+2)+2f(-x)=0得f(x+2)=-2f(-x),
∴当x=0时,f(2)=-2f(0)=0,
∴f(2)=0故①正确;
②∵f(x+2)=-2f(-x),且函数f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),
∴f(x+2)=2f(x)
故②正确;
③由上面可得f(x+4)=2f(x+2)=4f(x),故③正确;
④f(x+6)=2f(x+4)=8f(x),故④不正确.
其中正确的结论的个数是3.
故选B.
点评:本题主要考查了抽象函数性质的综合应用,解题的关键是熟练应用函数的奇偶性、周期性等,属于综合性试题.
已知定义在R上的函数f(x)是奇函数 且满足f(x+2)+2f(-x)=0;给出下列结论:①f(2)=0②f(x+2)=2f(x)③f(x+4)=4f(x)④f(x+