问题补充:
如图,抛物线m:y=-与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C,顶点为M,已知点A的横坐标为-2,点C的纵坐标为4,将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为D.
(1)求点M及点B的坐标;
(2)求抛物线n的函数表达式;
(3)设抛物线n与x轴的另一个交点为E,点P是线段ED上一个动点(P不与E,D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为F,连接EF,如果P点的坐标为(x,y),△PEF的面积为S,求S与x轴的函数关系式,写出自变量x的取值范围,试求出其最大值,若S没有最大值,请说明理由.
答案:
解:(1)将A(-2,0),C(0,4)代入y=-,
得,
解得,
∴抛物线m的解析式为y=-x2+x+4,
∵y=-x2+x+4=-(x2-6x)+4=-(x-3)2+,
∴顶点M的坐标为(3,),
解方程-x2+x+4=0,得x1=-2,x2=8,
∴点B的坐标为(8,0).
故点M的坐标为(3,),点B的坐标为(8,0);
(2)∵抛物线n是由抛物线m:y=-x2+x+4绕点B旋转180°得到的,
∴M与D关于点B成中心对称,
∴D的坐标为(13,-),
∴抛物线n的解析式为:y=(x-13)2-,即y=x2-x+36;
(3)∵点E与点A关于点B中心对称,A(-2,0),B(8,0),
∴E的坐标为(18,0).
设直线ED的解析式为y=px+q,
则,解得,
∴直线ED的解析式为y=x-.
又点P的坐标为(x,y),
∴S=x?(-y)=-x?(x-)=-x2+x=-(x-9)2+,
∵点P是线段ED上一个动点(P不与E,D重合),
∴13<x<18,
∴S=-(x-9)2+(13<x<18),
∵该抛物线开口向下,对称轴为x=9,函数图象位于对称轴右侧,y随着x的增大而减小,
∴S在13<x<18范围内没有最大值.
故S与x的函数关系式为S=-(x-9)2+,自变量取值范围是13<x<18,S没有最大值.
解析分析:(1)先将A(-2,0),C(0,4)代入y=-,运用待定系数法求出抛物线m的解析式为y=-x2+x+4,再运用配方法求出顶点M的坐标,解方程-x2+x+4=0,即可得到点B的坐标;
(2)由点D、M关于点B成中心对称,求出D点的坐标,从而得到抛物线n的解析式;注意由于开口方向相反,两个抛物线的a值也相反;
(3)先运用待定系数法求出直线DE的解析式,再根据三角形的面积公式求出S与x的函数关系式,然后根据二次函数的性质及自变量的取值范围即可确定S没有最大值.
点评:本题综合考查了二次函数的图象与性质、运用待定系数法求函数的解析式、图形变换、极值、三角形的面积等知识点,有一定的难度.第(3)问中,考查二次函数在指定区间上的极值,这是本题的一个易错点,需要引起注意.
如图 抛物线m:y=-与x轴的交点为A B 与y轴的交点为C 顶点为M 已知点A的横坐标为-2 点C的纵坐标为4 将抛物线m绕点B旋转180° 得到新的抛物线n 它的