问题补充:
已知,M是等边△ABC边BC上的点.
(1)如图1,过点M作MN∥AC,且交AB于点N,求证:BM=BN;
(2)如图2,连接AM,过点M作∠AMH=60°,MH与∠ACB的邻补角的平分线交与点H,过H作HD⊥BC于点D.
①求证:MA=MH;??②猜想写出CB,CM,CD之间的数量关系式,并加于证明;
(3)如图3,(2)中其它条件不变,若点M在BC延长线上时,(2)中两个结论还成立吗?若不成立请直接写出新的数量关系式(不必证明).
答案:
(1)证明:∵MN∥AC
∴∠BMN=∠C=60°,∠BNM=∠B=60°,
∴∠BMN=∠BNM,
∴BM=BN;
(2)①证明:过M点作MN∥AC交AB于N,
则BM=BN,∠ANM=120°
∵AB=AC,
∴AN=MC,
∵CH是∠ACB外角平分线,所以∠ACH=60°,
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°,
又∵∠NMC=120°,∠AMH=60°,
∴∠HMC+∠AMN=60°
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°,
∴∠HMC=∠MAN,
在△ANM和△MCH中,
∴△AMN≌△MHC(ASA),
∴MA=MH;
②CB=CM+2CD;
证明:过M点作MG⊥AB于G,
∵△AMN≌△MHC,
∴MN=HC,
∵MN=MB,
∴HC=BM,
∵△BMN为等边三角形,
∴BM=2BG,
在△BMG和△CHD中,
∴△BMG≌△CHD(AAS),
∴CD=BG,
∴BM=2CD
所以BC=MC+2CD;
(3)(2)中结论①成立,②不成立,
过M点作MN∥AB交AC延长线于N,
∵MN∥AB,
∴∠N=∠BAC=60°,
∴∠ACB=60°,
∴∠NCM=60°,
∴∠NMC=180°-60°-60°=60°,
∴△CNM是等边三角形,
∴CM=MN,
∵∠AMH=60°,∠CMN=60°,
∴∠AMH+∠1=∠CMN+∠1,
即∠AMN=∠CMH,
在△AMN和△HMC中,
∴△AMN≌△HMC(ASA),
∴MA=MH;
AN=CH,
∵∠HDC=90°,∠HCD=60°,
∴∠CHD=30°,
∴CH=2CD,
∵AC=BC,CN=CM
∴AN=AC+CN=BC+CN=CB+CM,
∵AN=CH,
2CD=CB+CM,
即:CB=2CD-CM.
解析分析:(1)根据平行线的性质和等边三角形的性质可得∠BMN=∠C=60°,∠BNM=∠B=60°,在根据等角对等边可得MB=BN;
(2)①过M点作MN∥AC交AB于N,然后证明△AMN≌△MHC,再根据全等三角形的性质可得MA=MH;
②过M点作MG⊥AB于G,再证明△BMG≌△CHD可得CD=BG,因为BM=2CD可得BC=MC+2CD;
(3)(2)中结论①成立,②不成立;过M点作MN∥AB交AC延长线于N,证明△AMN≌△HMC可得MA=MH,AN=CH,再根据∠CHD=30°,可得CH=2CD,又有AC=BC,CN=CM可得AN=AC+CN=BC+CN=CB+CM,进而得到2CD=CB+CM.
点评:此题主要考查了等边三角形的性质,以及全等三角形的判定与性质,关键是正确作出辅助线,熟练掌握证明三角形全等的方法.
已知 M是等边△ABC边BC上的点.(1)如图1 过点M作MN∥AC 且交AB于点N 求证:BM=BN;(2)如图2 连接AM 过点M作∠AMH=60° MH与∠AC