问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,直线(b>0)分别交x轴、y轴于A、B两点,以OA、OB为边作矩形OACB,D为BC的中点,以M(4,0),N(8,0)为斜边端点作等腰直角三角形PMN,点P在第一象限,设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S.
(1)求点P的坐标;
(2)当b值由小到大变化过程时,求S与b的函数关系式;
(3)在b值的变化过程中,若△PCD为等腰三角形,且PC=PD,请直接写出b的值.
答案:
解:(1)如图(二),作PK⊥MN于K,
∵M(4,0),N(8,0),
∴MN=4,OM=4,
又∵△PMN是等腰三角形,MN是斜边,
∴PK=KM=NM=2,
∴KO=OM+MK=6,
∴P(6,2);
(2)①当点A落在线段OM上(可与点M重合)时,如图(一),此时0<b≤2,S=0;
②当点A落在线段AK上(可与点K重合)时,如图(二),此时2<b≤3,设AC交PM于H,MA=AH=2b-4,
∴S=(2b-4)2=2b2-8b+8,
③当点A落在线段KN上(可与点N重合)时,如图(三),此时3<b≤4,设AC交PN于H,AN=AH=8-2b,
∴S=S△PMN-S△ANH=4-2(4-b)2=-2b2+16b-28,
④当点A落在线段MN的延长线上时,b>4,如图(四),S=4;
(3)b的值为4.
∵点C、D的坐标分别为(2b,b),(b,b),PC=PD,P(6,2),
∴(6-2b)2+(2-b)2=(6-b)2+(2-b)2
∴b=4.
解析分析:(1)因为以M(4,0),N(8,0)为斜边端点作的等腰直角三角形PMN,点P在第一象限,所以可作PK⊥MN于K,则PK=KM=NM=2,进而可求KO=6,所以P(6,2);
(2)需分情况讨论:当0<b≤2时,S=0;当2<b≤3时,重合部分是一个等腰直角三角形,可设AC交PM于H,AM=HA=2b-4,所以S=(2b-4)2;当3<b<4时,重合部分是一个四边形,因此可设AC交PN于H,四边形的面积=三角形PMN的面积-三角形HAN的面积,因为NA=HA=8-2b,所以S=-2(4-b)2+4,当b≥4时,重合部分就是直角三角形PMN,所以S=4.
(3)当△PCD为等腰三角形,且PC=PD时,b=4.
点评:考查了一次函数综合题.本题是一道综合性极强的题目,解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
如图 在平面直角坐标系中 直线(b>0)分别交x轴 y轴于A B两点 以OA OB为边作矩形OACB D为BC的中点 以M(4 0) N(8 0)为斜边端点作等腰直角