问题补充:
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(1,4),且与直线y=-ax+1相交于A,P两点,与y轴交于点Q,点A在x轴的负半轴上,且OA的长为2+.
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)若点C为抛物线上一点,以C为圆心的圆与直线y=-ax+1交于G,H,试问是否存在点C,使OG=OH?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)根据题意得:点A的坐标为:(-2-,0),
代入y=-ax+1得:-a×(-2-)+1=0,
解得:a=-1????????????…
∴直线解析式为y=x+1,
∴点A为(-1,0),
∵顶点为M(1,4),
∴设抛物线的解析式为:y=a(x-1)2+4,
∴4a+4=0,
解得:a=-1,
∴抛物线的解析式为:y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3;???????????????????…
(2)存在.…
若OM=ON,又CM=CN,则直线OC为线段MN的中垂线,
即直线OC⊥直线l,
可求得直线OC的解析式为y=-x,…
令-x=-x2+2x+3,解得x=,
可得?C1,C2.???…
解析分析:(1)由点A在x轴的负半轴上,且OA的长为2+,即可得点A的坐标为:(-2-,0),代入y=-ax+1,即可求得a的值,则可求得直线的解析式,又由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(1,4),且与直线y=-ax+1相交于A,P两点,利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式;
(2)若OM=ON,又CM=CN,则直线OC为线段MN的中垂线,即直线OC⊥直线l,可求得直线OC的解析式,由-x=-x2+2x+3,即可求得x的值,则可得点C的坐标.
点评:此题考查了点与函数的关系,待定系数法求函数解析式以及一次函数与二次函数的交点问题.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用.
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(1 4) 且与直线y=-ax+1相交于A P两点 与y轴交于点Q 点A在x轴的负半轴上 且OA的长为2+.(1)求直线和抛物