问题补充:
已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=120°,E是AB的中点,过E点作射线EF∥BC,交CD于点G,AB、AD的长恰好是方程x2-4x+a2+2a+5=0的两个相等实数根,动点P、Q分别从点A、E出发,点P以每秒1个单位长度的速度沿射线AB由点A向点B运动,点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动,设点P、Q运动的时间为t.
(1)求线段AB、AD的长;
(2)如果t>1,DP与EF相交于点N,求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式;
(3)当t>0时,是否存在△DPQ是直角三角形的情况?如果存在请求出时间t;如果不存在,说明理由.
答案:
解:(1)根据题意可知,△=42-4(a2+2a+5)=-4(a+1)2=0,
∴a=-1,
原方程可化为:x2-4x+4=0,
∴x1=x2=2,
∴AD=AB=2.
(2)过点P作PM⊥DA,交DA的延长线于M,过点D作DK⊥EF,
∵∠A=120°,AD∥BC且AD=AB=2,
∴∠B=60°,,
∵E是AB中点,且EF∥BC,
∴,
∵AP=t,
∴,
∵t>1 AE=1,
∴P在E的下方,
∴,
∵E是AB中点,AD∥EF,AB=2,
∴,
∴,
∴,
∴S△DPQ=,
=,
(3)根据题意可知:,
∴,
∴DP2=(DM)2+(PM)2,
DP2=t2+2t+4,
根据勾股定理可得:
,
,
PQ2=7t2-4t+1,
①当∠PDQ=90°,PQ2=DQ2+PD2
7t2-4t+1=4t2-10t+7+t2+2t+4,
解之得:(舍负),
②当∠DPQ=90°,DQ2=PQ2+PD2
4t2-10t+7=7t2-4t+1+t2+2t+4,
解之得:(舍负),
③当∠DQP=90°,PD2=DQ2+PQ2,
t2+2t+4=7t2-4t+1+4t2-10t+7,
解之得:,
综上,当,,时△DPQ是直角三角形.
解析分析:(1)根据两根相等可得出判别式等于零,从而可得出AB和AD的长度.
(2)过点P作PM⊥DA,交DA的延长线于M,过点D作DK⊥EF,求出表示△DPQ的面积S需要的线段长度,然后利用三角形的面积表达式可得出两者的关系.
(3)直角三角形,因为不确定哪个角是直角,所以需要分类讨论,注意不要漏解.
点评:本题考查了梯形及一元二次方程的结合,综合性较强,难度较大,解答本题的关键是将题目分解,一步一步的得出解答此题需要的条件,切忌手忙脚乱无从下手.
已知梯形ABCD中 AD∥BC ∠A=120° E是AB的中点 过E点作射线EF∥BC 交CD于点G AB AD的长恰好是方程x2-4x+a2+2a+5=0的两个相等