问题补充:
已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点(A、B分别在原点的左右两侧),与y轴正半轴相交于C点,且OA:OB:OC=1:3:3,△ABC的面积为6,(如图1)
(1)求A、B、C的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)如图2,在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P,使△BCP面积最大?如果存在,求出最大面积,并指出此时P点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
答案:
解:(1)∵OA:OB:OC=1:3:3,
∴设OA=k,OB=3k,OC=3k,
则AB=OA+OB=k+3k=4k,
S△ABC=×4k?3k=6,
解得k=1,
∴OA=1,OB=3,OC=3,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3);
(2)把点A、B、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c得,
,
解得,
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3;
(3)根三角形的面积,当平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BCP面积最大,
∵B(3,0),C(0,3),
∴直线BC的解析式为y=-x+3,
设与直线BC平行的直线为y=-x+b,
联立,
消掉y得,x2-3x+b-3=0,
△=(-3)2-4×1×(b-3)=0,
即b=时,直线与抛物线只有一个交点,△BCP面积最大,
此时,x=-=,
y=-+=,
所以,点P的坐标为(,),
过点P作PD⊥x轴于D,
则S△BCP=S梯形ODPC+S△PBD-S△OBC
=×(3+)×+×(3-)×-×3×3
=+-
=.
解析分析:(1)根据比例设OA=k,OB=3k,OC=3k,然后表示出AB=4k,再利用△ABC的面积列式求出k,即可得到点A、B、C的坐标;
(2)利用待定系数法求二次函数解析式解答;
(3)根据平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BCP面积最大,先求出直线BC的解析式为y=-x+3,再设出平行于直线BC的直线的解析式y=-x+b,然后与抛物线联立,消掉未知数y,得到关于x的一元二次方程,利用根的判别式△=0列式求出b值,再求出点P的坐标,过点P作PD⊥x轴于D,根据S△BCP=S梯形ODPC+S△PBD-S△OBC列式计算即可得解.
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了三角形的面积,待定系数法求二次函数解析式,(1)利用“设k法”求解更加简便,(3)先判断出过平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BCP的面积最大是解题的关键.
已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A B两点(A B分别在原点的左右两侧) 与y轴正半轴相交于C点 且OA:OB:OC=1:3:3 △ABC的面积为6 (如