问题补充:
如图所示,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,连接EF,给出下列四个结论:
①AP=EF;? ②△APD一定是等腰三角形;? ③∠PFE=∠BAP;? ④PD=EC,
其中正确结论的序号是________.
答案:
①③④
解析分析:连接PC,根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP=∠CBP=45°,然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等,根据全等三角形对应边相等可得AP=PC,对应角相等可得∠BAP=∠BCP,再根据矩形的对角线相等可得EF=PC,对边相等可得PF=EC,再判断出△PDF是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可.
解答:解:如图,连接PC,在正方形ABCD中,∠ABP=∠CBP=45°,AB=CB,
∵在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴AP=PC,∠BAP=∠BCP,
又∵PE⊥BC,PF⊥CD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF,∠BCP=∠PFE,
∴AP=EF,∠PFE=∠BAP,故①③正确;
∵PF⊥CD,∠BDC=45°,
∴△PDF是等腰直角三角形,
∴PD=PF,
又∵矩形的对边PF=EC,
∴PD=EC,故④正确;
只有点P为BD的中点或PD=AD时,△APD是等腰三角形,故②错误;
综上所述,正确的结论有①③④.
故
如图所示 点P是正方形ABCD的对角线BD上一点 PE⊥BC于E PF⊥CD于F 连接EF 给出下列四个结论:①AP=EF;?②△APD一定是等腰三角形;?③∠P