问题补充:
如图1已知抛物线y=x2-ax+b与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点D的坐标为(1,-4)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为第四象限的抛物线上一点,DM交x轴于N,且S△OCN=S四边形OCDB,求点M的坐标;
(3)如图2,在y轴上是否存在点P,使△PBD为等腰三角形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
答案:
解:(1)∵抛物线顶点为D(1,-4),
∴抛物线的解析式为:y=(x-1)2-4,
即y=x2-2x-3;
(2)如图1,抛物线的顶点为D(1,-4),作DE⊥x轴,垂足为E,
则S四边形OCDB=S梯形OCDE+S△BDE=×(3+4)×1+×4×2=,
∴S△OCN=S四边形OCDB=,
∵OC=3,
∴ON=5,
由D(1,-4),N(5,0)得直线DN解析式为y=x-5,
联立,
解得或,
∴M(2,-3);
(3)由已知得BD==2,
当P在BD垂直平分线上时,P(0,-1)
当B为等腰三角形顶点时,P(0,)或(0,-),
当D为等腰三角形顶点时,P(0,-4)或(0,--4).
解析分析:(1)已知顶点P的坐标,利用顶点式求抛物线解析式;
(2)由抛物线解析式可得C(0,-3),D(1,-4),B(3,0),可求S四边形OCDB,已知OC=3,由S△OCN=S四边形OCDB,可求ON,确定N点坐标,再求直线DN解析式,与抛物线解析式联立即可;
(3)存在.分别以B、D为圆心,BD为半径画弧,与y轴相交,有四个点,作BD的垂直平分线与y轴相交,有一个点.
点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据题意求抛物线解析式,根据面积关系求N点坐标,根据等腰三角形的性质求P点坐标.
如图1已知抛物线y=x2-ax+b与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 顶点D的坐标为(1 -4)(1)求抛物线的解析式;(2)点M为第四象限的抛物线上一点 DM交x