问题补充:
如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于点D,E是BC边的中点,连接DE.
(1)DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;
(2)若AD、AB的长是方程x2-6x+8=0的两个根,求直角边BC的长;
(3)在(2)的条件下,则图中阴影部分的面积=______.
答案:
解:(1)DE与半圆O相切,
连接OD,BD,
∵AB是直径,∴BD⊥AC,△BCD为直角三角形,
∵E是BC中点,∴DE=EB,
∴∠EDB=∠EBD;
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD,即
∠ODE=∠OBC=90°.
∴DE与半圆O相切.
(2)解方程x2-6x+8=0得x1=2,x2=4,
∴AD=2,AB=4,
∴BD=2,
∵∠ABC=90°,BD⊥AC,
∴△ADB∽△BDC,
∴,即,
∴BC=4.
(3)∵OA=OD=AD=2,∴∠AOD=60°,
∴∠DOB=120°,
∴S扇形BOD==,
∵DE是△BDC的中线,
∴S△BDE=S△BDC,
同理,S△BOD=S△ABD,
∴S四边形BODE=S△ABC=××4×4=4.
∴S阴影部分=4-.
解析分析:(1)相切.连接OD,证OD⊥DE即可.因为AB是直径,所以连接BD,则BD⊥AC,△BCD为直角三角形.又E是BC中点,得DE=EB,所以∠EDB=∠EBD;因OB=OD,有∠OBD=∠ODB.所以∠ODE=∠OBC=90°,得证;
(2)解方程求AD、AB的长,从而求BD.利用△ADB∽△BDC得比例线段求解;
(3)阴影部分的面积=S四边形BODE-S扇形BOD.
根据DE是△BDC的中线可得S△BDE=S△BDC,同理,S△BOD=S△ABD.
所以S四边形BODE=S△ABC.
分别求各部分面积求解.
点评:此题考查的知识点较多,综合性较强,难度偏上.
如图 以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O 与斜边AC交于点D E是BC边的中点 连接DE.(1)DE与半圆O相切吗?若相切 请给出证明;若不相切 请说明理由;(