问题补充:
如图,已知二次函数y=(1-m)x2+4x-3的图象与x轴交于点A和B,与y轴交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)若点A的坐标为(1,0),求二次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点P,使以P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)点C的坐标为(0,-3).
(2)∵二次函数过点A(1,0),得m=2,
即所求二次函数的解析式为y=-x2+4x-3.
(3)假设存在这样的点P(如图所示),
设点P的坐标为(0,y),
当y=-x2+4x-3=0时,有x1=1,x2=3,
∴点B的坐标为(3,0),
即OP=|y|,OA=1,OB=3,OC=3.
①当△POB∽△AOC时,y=±1;
②当△BOP∽△AOC时,y=±9;
③当BP∥AC时,△BOP∽△AOC,这时|y|=9.
∵这时的y<0,
∴y=-9,与②中的第二个解相同.
综上可知,在y轴上存在点P,使点P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似,
这样的点有四个,分别是P1(0,-1)、P2(0,1)、P3(0,-9)、P4(0,9).
解析分析:(1)令抛物线的解析式中x=0,即可得出C的坐标.
(2)将A点坐标代入抛物线中进行求解即可.
(3)可先根据(2)的抛物线求出B点的坐标,即可求得OB的长.所求的两三角形中,已知了∠POB=∠AOC=90°,因此只需根据两组直角边对应成比例求出OP的长即可.(由于两相似三角形的对应边不确定,要分类进行求解,方法一致.)
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定即相似三角形的判定和性质.要注意(3)题在不确定相似三角形的对应角和对应边的情况下要分类讨论,不要漏解.
如图 已知二次函数y=(1-m)x2+4x-3的图象与x轴交于点A和B 与y轴交于点C.(1)求点C的坐标;(2)若点A的坐标为(1 0) 求二次函数的解析式;(3)