问题补充:
如图.直线y=-x+b(b>0)与双曲线交于A、B两点,连接OA、OB,AM⊥y轴于M.BN⊥x轴于N;
(1)证明:①OA=OB;②△AOM≌△BON;
(2)若∠AOB=45°.
①求S△AOB(用含K的代数式表示);
②当b=2时,延长MA,NB交于点P,求P的坐标.
答案:
(1)证明:设点A、B的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2),
联立得,x2-bx+k=0,
∴x1?x2=k,
又∵点A、B都在双曲线y=上,
∴x1?y1=k,x2?y2=k,
∴x1=y2,x2=y1,
即AM=BN,OM=ON,
∵AM⊥y轴于M.BN⊥x轴于N,
∴∠AMO=∠BNO=90°,
在△AOM和△BON中,
∵,
∴△AOM≌△BON(SAS),
∴OA=OB,
即:①OA=OB;②△AOM≌△BON;
(2)解:①如图,过O作OC⊥AB于点C,
∵OA=OB,∠AOB=45°,
∴∠AOC=∠BOC=22.5°,
∵△AOM≌△BON(已证),
∴∠AOM=∠BON=(90°-45°)=22.5°,
∴△AOM≌△AOC≌△BOC≌△BON(AAS),
∴S△AOB=S△AOM+S△BON,
∵S△AOM=x1?y1=k,S△BON=x2?y2=k,
∴S△AOB=k+k=k;
②如图,设直线AB与y轴的交点为D,
∵b=2,
∴当x=0时,y=-0+b=b=2,
∴点D的坐标为(0,2),
∴OD=2,
又∵∠COD=22.5°×2=45°,OC⊥AB,
∴OC=×2=,
∴OM=ON=,
∴点P的坐标为(,).
解析分析:(1)设点A、B的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2),联立两函数解析式整理得到关于x的一元二次方程,再根据反比例函数的性质以及根与系数的关系列式可得x1=y2,x2=y1,然后利用“边角边”证明△AOM和△BON全等,根据全等三角形对应边相等可得OA=OB;
(2)①过O作OC⊥AB于点C,根据等腰三角形三线合一的性质可得∠AOC=∠BOC=22.5°,再根据全等三角形对应角相等可得∠AOM=∠BON=22.5°,然后利用“角角边”证明△AOM、△AOC、△BOC、△BON全等,根据全等三角形的面积相等可得△AOB的面积等于△AOM与△BON的面积的和,再根据反比例函数系数的何意义解答;
②设直线AB与y轴的交点为D,利用直线解析式求出点D的坐标,从而得到OD的长度,再根据等腰直角三角形的性质求出OC的长度,也就是OM、ON的长度,然后根据点P在第一象限写出坐标即可.
点评:本题综合考查了反比例函数的问题,主要利用了联立两函数解析式求交点坐标的方法,一元二次方程根与系数的关系,反比例函数系数的几何意义,全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,等腰直角三角形的性质,综合性较强,难度较大,考虑利用根与系数的关系的关系求解是本题的关键,也是突破口.
如图.直线y=-x+b(b>0)与双曲线交于A B两点 连接OA OB AM⊥y轴于M.BN⊥x轴于N;(1)证明:①OA=OB;②△AOM≌△BON;(2)若∠AO