问题补充:
已知:如图,AB为⊙O的弦,过点O作AB的平行线,交⊙O于点C,直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若⊙O的半径等于4,tan∠ACB=,求CD的长.
答案:
解:(1)直线BD与⊙O相切.
证明:如图,连接OB.
∵∠OCB=∠CBD+∠D,∠1=∠D,
∴∠2=∠CBD,
∵AB∥OC,
∴∠2=∠A,
∴∠A=∠CBD.
∵OB=OC,
∴∠BOC+2∠3=180°.
∵∠BOC=2∠A,
∴∠A+∠3=90°.
∴∠CBD+∠3=90°.
∴∠OBD=90°.
∴直线BD与⊙O相切.
(2)∵∠D=∠ACB,tan∠ACB=,
∴tanD=.
∵∠OBD=90°,OB=4,tanD=,
∴sinD=,OD==5.
∴CD=OD-OC=1.
解析分析:(1)应该是相切,连接OB证OB⊥BD即可.本题的基本思路是通过平行线,弦切角定理,等边对等角,来得出相等的角,然后将这些相等的角进行置换,最终转换到一个三角形中,根据三角形的内角和来求出度数.从而得出∠OBD=90°的结论.
(2)有了∠ACB的正切值也就有了∠D的正切值,那么可在直角三角形OBD中,有半径的长,有∠D的正切值,可用正弦函数求出OD的长,也就求出了CD的长.
点评:本题考查的是切线的判定以及解直角三角形,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.
已知:如图 AB为⊙O的弦 过点O作AB的平行线 交⊙O于点C 直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.(1)判断直线BD与⊙O的位置关系 并证明你的结论;(2)若⊙O的