问题补充:
已知四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件:①AC⊥BD;②AC平分对角线BD;③AD∥BC;④∠OAD=∠ODA.请你以其中的三个条件作为命题的题设,以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论.
(1)写出一个真命题,并证明;
(2)写出一个假命题,并举出一个反例说明(无需证明).
答案:
解:(1)如:若AC⊥BD,AC平分线段BD,AD∥BC,则四边形ABCD是菱形.
证明:如图,设AC与BD交于上点O.
∵AC平分BD
∴BO=DO
∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO
在△AOD和△COB中,
∵,
∴△AOD≌△COB(ASA)
∴AO=CO
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形;
(2)如:若AC平分BD,AD∥BC,∠OAD=∠ODA,则四边形ABCD是菱形.
反例:如图,四边形ABCD为矩形.
解析分析:(1)结合题中条件,从对角线上考虑:①AC⊥BD;②AC平分对角线BD,只要再说明AO与CO相等就可以了,利用③AD∥BC证明三角形全等就可以得到;
(2)利用条件说明是矩形,所以是菱形是假命题.
点评:本题主要考查利用“对角线互相垂直且平分是菱形”判定四边形是菱形.
已知四边形ABCD 对角线AC BD交于点O.现给出四个条件:①AC⊥BD;②AC平分对角线BD;③AD∥BC;④∠OAD=∠ODA.请你以其中的三个条件作为命题的题