问题补充:
已知点A(0,1)、B(0,-1),P是一个动点,且直线PA、PB的斜率之积为.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设Q(2,0),过点(-1,0)的直线l交C于M、N两点,若对满足条件的任意直线l,不等式恒成立,求λ的最小值.
答案:
解:(1)设动点P的坐标为(x,y),则直线PA,PB的斜率分别是,
由条件得,-----------------2分
即动点P的轨迹C的方程为-----------------6分分(注:无x≠0扣1分)
(2)设点M,N的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),
ⅰ)当直线l垂直于x轴时,
∴
∴---------------10分
ⅱ)当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x+1),
由得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0----------11分
∴----------------12分
∴
又∵y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),
∴-----------------13分
=-------------------14分
综上所述的最大值是----------------15分
∴λ的最小值为-----------------------16分
解析分析:(1)设动点P的坐标为(x,y),可表示出直线PA,PB的斜率,根据题意直线PA、PB的斜率之积为 建立等式求得x和y的关系式,即点P的轨迹方程.(2)设点M,N的坐标,当直线l垂直于x轴时,分别表示出 和 ,进而可求得 ;再看直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程,把直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,进而表示出 判断出其范围,综合求得 的最大值,根据恒成立,求得λ的最小值.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了知识的综合运用,分析推理和基本的运算能力.
已知点A(0 1) B(0 -1) P是一个动点 且直线PA PB的斜率之积为.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)设Q(2 0) 过点(-1 0)的直线l交C于M