问题补充:
已知以C(2,0)为圆心的圆C和两条射线y=±x,(x≥0)都相切,设动直线L与圆C相切,并交两条射线于A、B,求线段AB中点M的轨迹方程.
答案:
解:设直线L的方程为y=kx+b.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),
由得A,(k≠1)
由得B,
∴
由①②得:k=,b=??③
∵圆C与y=±x都相切
∴圆C的半径r=.
∵AB:kx-y+b=0与圆C相切,
∴=,即2k2+4kb+b2-=0??④
将③代入④(y2-x2)+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0
∵y2≠x2,∴y2-x2+4x-2=0即(x-2)2-y2=2.(y≠0)
当L⊥x轴时,线段AB的中点M(2±,0)也符合上面的方程,其轨迹在∠AOB内.
解析分析:设直线L的方程为y=kx+b.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),通过得求出A,通过得B,利用中点坐标公式得:k=,b=,通过圆C与y=±x都相切,推出(y2-x2)+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0,推出轨迹方程.
点评:本题考查轨迹方程的求法,考查分析问题解决问题的能力,恰当消元利用已知条件是解题的关键,考查计算能力.
已知以C(2 0)为圆心的圆C和两条射线y=±x (x≥0)都相切 设动直线L与圆C相切 并交两条射线于A B 求线段AB中点M的轨迹方程.