问题补充:
定义在R上的函数y=f(x),对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求f(0)的值;
(2)求当x<0时,f(x)的取值范围;
(3)判断f(x)在R上的单调性,并证明你的结论.
答案:
解:(1)令m=0,n>0,则有f(n)=f(0+n)=f(0)?f(n)
又由已知,n>0时,0<f(n)<1,
∴f?(0)=1
(2)设x<0,则-x>0f(0)=f[x+(-x)]=f(x)?f(-x)=1
则?,
又∵-x>0,
∴0<f(-x)<1,
∴f(x)∈(1,+∞)
(3)f(x)在R上的单调递减
证明:设x1、x2∈R,且x1<x2
又x1=(x1-x2)+x2,由已知f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)?f(x2)
∴…(16分),
∵x1<x2,∴x1-x2<0,由(2)得f(x1-x2)>1
∴,又由(1)、(2),,
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)在R上的单调递减
解析分析:(1)利用赋值法,令m=0,n>0,则有f(n)=f(0+n)=f(0)?f(n)结合题中条件:“n>0时,0<f(n)<1”,即可求出f?(0);(2)根据f(m+n)=f(m)?f(n)恒成立,考虑取x=0代入,可得f(0)=1,再取x=-y,可得f(-y)=,再结合条件x>0时,有0<f(x)<1,经过变形化简可得x<0时,0<f(x)<1成立.(3)这是抽象函数的单调性问题,应该用单调性定义解决.对差的符号进行判断时要注意根据其形式结合(2)的结论选择判断的方式.
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、抽象函数及其应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.
定义在R上的函数y=f(x) 对于任意实数m n 恒有f(m+n)=f(m)?f(n) 且当x>0时 0<f(x)<1.(1)求f(0)的值;(2)求当x<0时 f(