函数f（x）的定义域为D 若存在闭区间[a b]?D 使得函数f（x）满足：①f（x）在[a b

问题补充：

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有

①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=ex（x∈R）；③；④．A.①②③④B.①②④C.①③④D.①③

答案：

C

解析分析：根据函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”

解答：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或①f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则，∴∴∴f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；②f（x）=ex（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则，∴构建函数g（x）=ex-2x，∴g′（x）=ex-2，∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．∵g（ln2）=2-2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴ex-2x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；③，=若存在“倍值区间”[a，b]?[0，1]，则，∴，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；④．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数若存在“倍值区间”[m，n]，则，必有，必有m，n是方程的两个根，必有m，n是方程的两个根，由于存在两个不等式的根，故存在“倍值区间”[m，n]；综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④故选C．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及知识点较多，需要谨慎计算．

函数f（x）的定义域为D 若存在闭区间[a b]?D 使得函数f（x）满足：①f（x）在[a b]内是单调函数；②f（x）在[a b]上的值域为[2a 2b] 则称区