问题补充:
如图(1),在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,延长CB到E,使EB=AD,连结AE.
(1)求证:AE=AC;
(2)如图(2),若恰有AC平分∠BCD,AC⊥AB,AD=2,求:①AB的长;②AC的长;③梯形ABCD的面积.
答案:
解:(1)连接BD,
∵AD∥BC,EB=AD,
∴四边形ADBE为平行四边形,
∴AE=BD,
∵梯形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,
∴AE=AC;
(2)①∵AD∥BC,AC平分∠BCD,
∴∠ACB=∠DCA=∠DAC,
∴AB=CD=AD=2;
②∵梯形ABCD是等腰梯形,AC⊥AB,
∴∠ABC=∠BCD=2∠ACB,
∴∠ACB+∠ABC=3∠ACB=90°,
∴∠ACB=30°,
∴BC=2AB=2AD=4,
∴AC==2;
③过点A作AE⊥BC于点E,
∴AE==,
∴S梯形ABCD=(AD+BC)?AE=×(2+4)×=3.
解析分析:(1)连接BD,可证明四边形ADBE为平行四边形,则AE=BD,再根据等腰梯形的性质,可得出结论;
(2)①根据题意可得出∠ACB=∠DCA=∠DAC,则可得AB=CD=AD=2;
②由①易求得∠ACB=30°,从而得出BC=2AD,然后由勾股定理求得AC的长;
③首先求得高AD的长,继而求得梯形ABCD的面积.
点评:此题考查了等腰梯形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
如图(1) 在梯形ABCD中 AD∥BC AB=CD 延长CB到E 使EB=AD 连结AE.(1)求证:AE=AC;(2)如图(2) 若恰有AC平分∠BCD AC⊥A