问题补充:
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,CA=4,∠ABC的角平分线BD交AC于点D,点E是线段AB上的一点,以BE为直径的圆O过点D.
(1)求证:AC是圆O的切线;
(2)求AE的长.
答案:
(1)证明:连接OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD;
∵BD平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD,即∠ODB=∠CBD,
∴OD∥BC,
∵BC⊥AC,
∴OD⊥AC;
又∵点D在⊙O上,
∴AC是⊙O的切线.
(2)解:Rt△ABC中,AC=4,BC=3,则AB=5;
在Rt△AOD中,设AD=4x,则OD=3x,OA=5x;
∵OE=OD=3x,
∴AE=OA-OE=2x,
由于AB=AE+BE=2x+6x=5,故x=,
∴AE=2x=.
解析分析:(1)连接OD,证OD⊥AC即可;由于OB=OD,且BD平分∠ABC,利用角平分线的定义以及等边对等角可求得∠ODB=∠OBD=∠CBD,由此可证得OD∥BC,而BC⊥AC,即OD⊥AC,由此得证.
(2)根据∠DAO的正切值,可求出AD、OD的比例关系,可用未知数表示出两者的长,进而可求得BE、AE的表达式,由于AE+BE=AB=5,由此可求出未知数的值,也就得到了AE的长.
点评:此题主要考查了切线的判定方法,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
如图所示 在Rt△ABC中 ∠C=90° BC=3 CA=4 ∠ABC的角平分线BD交AC于点D 点E是线段AB上的一点 以BE为直径的圆O过点D.(1)求证:AC是