问题补充:
如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知OA=4OB,AC=2BC=.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)若点C关于原点的对称点为C′,试问在AB的垂直平分线上是否存在一点G,使得△GBC′的周长最小?若存在,求出点G的坐标和最小周长;若不存在,请说明理由.
(3)设点P是直线BC上异于点B、点C的一个动点,过点P作x轴的平行线交直线AC于点Q,过点Q作QM垂直于x轴于点M,再过点P作PN垂直于x轴于点N,得到矩形PQMN.则在点P的运动过程中,当矩形PQMN为正方形时,求该正方形的边长.
答案:
解:(1)设OB=k(k>0),则OA=4k,AB=5k,
∵AC=2BC=2,∠ACB=90°,
∴(2)2+2=(5k)2,
?解得:k=1,
∴OB=1,OA=4,
∴A(-4,0),B(1,0),
∵OC==2,
∴C(0,-2);
(2)如图1,连接AC′,由几何知识知AC′与AB的垂直平分线l的交点即为△GBC′的周长最小时的点G.
连接GB,BC′,
∵点C′与点C关于原点对称,且C(0,-2),
∴C′(0,2),
∵A(-4,0),B(1,0),
∴直线AC′的解析式为:y=x+2,
直线l的解析式为:x=-,
∴点G(-,),
∵BC′==,AC′==2
∴△GBC′的最小周长为:
GB+GC′+BC′=AC′+BC′=3;
(3)由图易知点P不可能在直线BC的点B右上方.
当点P在线段BC之间时(如图2),
设正方形PQMN的边长为t.
∵A(-4,0),B(1,0),C(0,-2)
∴直线AC的解析式为:y=-x-2,
直线BC的解析式为:y=2x-2,
∴点P(,-t),点Q(2t-4,-t),
∴点N(,0),点M(2t-4,0),
∴MN=-2t+4+=t,解得t=,
当点P在直线BC的左下方时,同理可得点N(,0),点M(2t-4,0),此时
MN=2t-4-=t,解得t=.
综上所述,正方形PQMN的边长为或.
解析分析:(1)设OB=k(k>0),则OA=4k,AB=5k,在Rt△ABC中利用勾股定理可求出k的值,故可得出A、B、C三点的坐标;
(2)连接AC′,由几何知识知AC′与AB的垂直平分线l的交点即为△GBC′的周长最小时的点G.连接GB,BC′,根据点C′与点C关于原点对称,且C(0,-2),可求出C′(0,2),利用待定系数法求出直线AC′的解析式故可求出G点坐标,进而可得出结论;
(3)由图易知点P不可能在直线BC的点B右上方.当点P在线段BC之间时(如图2),设正方形PQMN的边长为t,求出直线AC的解析式,由正方形的性质可求出P、Q、M、N点的坐标,故可得出MN的长;同理当点P在直线BC的左下方时可求出MN的长.
点评:本题考查的是一次函数综合题,涉及到勾股定理、用待定系数法求一次函数的解析式及正方形的性质等知识,难度较大.
如图 在平面直角坐标系xOy中 Rt△ABC的A B两个顶点在x轴上 顶点C在y轴的负半轴上.已知OA=4OB AC=2BC=.(1)求点A B C的坐标;(2)若点