问题补充:
如图,以Rt△ABC的一直角边AB为直径作圆,交斜边BC于P点,Q为AC的中点.
(1)求证:PQ与⊙O相切;
(2)若PQ=2cm,BP=6cm,求圆的半径.
答案:
解:(1)连接OP,AP.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠APB=90°.
∴∠APC=90°.
∵Q为AC的中点
∴PQ=AQ=QC.
∴∠PAQ=∠APQ
∵OA=OP,
∴∠OAP=∠OPA
∴∠PAQ+∠OAP=∠APQ+∠OPA
即∠OAQ=∠OPQ
∵∠BAC=90°,
∴∠OPQ=90°,
∴PQ⊥OP
∴PQ与⊙O相切.
(2)∵PQ=2
∴AC=4.
∵∠BAC=90°,AP⊥BC于P,
∴△ACP∽△BCA.
∴
∴AC2=PC?BC
∵BP=6,
∴16=PC(6+PC)
∴PC=2(负值舍去)
∴BC=8,
∴AB=,
∴所求圆的半径为cm.
解析分析:(1)要证PQ是⊙O的切线,只要连接OP,AP,再证PQ⊥OP即可.
(2)先证明△ACP∽△BCA,根据相似三角形及切线的性质求出AC,BC的长,再根据勾股定理求得圆的直径,进一步得到半径.
点评:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时考查了相似三角形及切线的性质,勾股定理的应用.
如图 以Rt△ABC的一直角边AB为直径作圆 交斜边BC于P点 Q为AC的中点.(1)求证:PQ与⊙O相切;(2)若PQ=2cm BP=6cm 求圆的半径.