问题补充:
如图,等边△ABC的边长为12cm,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE=4cm,若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动,设点F运动的时间为t秒,当t>0时,直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G,GE的延长线与BC的延长线相交于点H,AB与GH相交于点O.
(1)设△EGA的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(2)在点F运动过程中,试猜想△GFH的面积是否改变?若不变,求其值;若改变,请说明理由;
(3)请直接写出t为何值时,点F和点C是线段BH的三等分点.
答案:
解:(1)作EM⊥GA,垂足为M.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵GA∥BC,
∴∠MAE=60°.
∵AD=AE=4,
∴ME=AE?sin60°=2,BD=AB-AD=8,
又GA∥BH,
∴△AGD∽△BFD,
∴==,
又∵BF=2t,
∴AG=t.
∴S=t.
(2)猜想:不变.
∵AG∥BC,
∴△AGD∽△BFD,△AGE∽△CHE,
∴=,=,
∴=,
∴=,
∴BF=CH.
情况①:0<t<6时,
∵BF=CH,
∴BF+CF=CH+CF,
即:FH=BC;
情况②:t=6时,有FH=BC;
情况③:t>6时,
∵BF=CH,
∴BF-CF=CH-CF,
即:FH=BC.
∴S△GFH=S△ABC=36.
综上所述,当点F在运动过程中,△GFH的面积为36cm2.
(3)∵BC=FH,∴BF=CH.
①当点F在线段BC边上时,若点F和点C是线段BH的三等分点,则BF=FC=CH.
∵BC=12,∴BF=FC=6,
又∵点F的运动速度为2cm/s,
∴t=3.
∴当t=3时,点F和点C是线段BH的三等分点;
②当点F在BC的延长线上时,若点F和点C是BH的三等分点,则BC=CF=FH.
∵BC=12,∴CF=12,∴BF=24,
又∵点F的运动速度为2cm/s,
∴t=12.
∴当t=12时,点F和点C是线段BH的三等分点;
综上可知:当t=3s或12s时,点F和点C是线段BH的三等分点.
解析分析:(1)为了求出三角形的面积,我们要作高线.通过特殊角的三角函数求出此高,再利用三角形相似,用t表示出底.这样,这个三角形的面积就可用含t的代数式表示出来了.
(2)首先由两步相似,即△AGD∽△BFD,△AGE∽△CHE,证得BF=CH,然后分三种情况:
①0<t<6时,②t=6时,③t>6时;
在上述三种情况中,通过线段间的等量代换,都可证得FH=BC,因此△FHG、△ABC的面积相等,由于△ABC的面积是定值,所以△FHG的面积不变.
(3)分两种情况:①点F在线段BC上,②点F在BC的延长线上;可通过线段间的等量关系,求出BF的值,从而求得t的值.
点评:此题主要考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法等知识,同时还涉及分类讨论的数学思想,难度较大.
如图 等边△ABC的边长为12cm 点D E分别在边AB AC上 且AD=AE=4cm 若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动 设点F运动的时间为t秒