问题补充:
矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,BE⊥AC于点E,点F在EB延长线上,BF=AC,连接DF交AB于点G.
(1)求证:∠ADG=∠CDG;
(2)若AO=AG,矩形ABCD的面积为,求FG长.
答案:
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,CD∥AB,AC=BD,AC=2OA,BD=2OB,
∴OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∴∠EOB=∠OAB+∠OBA=2∠OBA,
∵BD=AC,AC=BF,
∴BD=BF,
∴∠F=∠BDF,
∴∠EBO=∠F+∠BDF=2∠BDG,
∵BE⊥AC,
∴∠BEO=90°,
∴∠EBO+∠EOB=90°,
∴2∠BDG+2∠OBA=90°,
∴∠BDG+∠OBA=45°,
∵CD∥AB,
∴∠OBA=∠ODC,
∴∠ODC+∠BDG=45°,
即∠CDG=45°,
∵∠ADC=90°,
∴∠ADG=90°-45°=45°,
∴∠ADG=∠CDG.
解:(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAG=90°,
∴∠DGA=∠ADG=45°,
∴AD=AG,
∵AO=OB=OD=AG,
∴AD=AO=OD,
∴△ADO是等边三角形,
∴∠DAO=60°,∠CAB=30°,
∵∠ABC=90°,
∴AC=2BC,AB==BC,
∴S矩形ABCD=BC×BC=9,
∴BC=3,
∴AB=3,
∵∠CAB=30°,∠AEB=90°,
∴∠ABE=60°,
过F作FH⊥AB交AB延长线于H,
∵∠FBH=∠ABE=60°,∠BHF=∠ABC=90°,
∴∠CBE=90°-60°=30°,
∴∠ACB=90°-30°=60°=∠FBH,
在△FBH和△ACB中
∴△FBH≌△ACB(AAS),
∴FH=AB=3,
∵∠HGF=∠DGA=45°,∠FHG=90°,
∴∠HFG=45°,
∴GH=FH,
∴在Rt△FGH中,FG==FH=×3=3,
即FG=3.
解析分析:(1)根据矩形的性质得出∠ADC=90°,CD∥AB,AC=BD,AC=2OA,BD=2OB,推出OA=OB,推出∠OAB=∠OBA,求出∠EOB=2∠OBA,∠EBO=∠F+∠BDF=2∠BDG,求出∠BDG+∠OBA=45°,代入∠OBA=∠ODC求出∠CDG=45°即可;
(2)根据矩形性质得出∠DAG=90°,根据∠DGA=∠ADG=45°求出AD=AG,得出△ADO是等边三角形,推出∠DAO=60°,∠CAB=30°,求出AC=2BC,AB=BC,根据S矩形ABCD=BC×BC=9求出BC=3,求出AB=3,过F作FH⊥AB交AB延长线于H,证△FBH≌△ACB,推出FH=AB=3,求出GH=FH,在Rt△FGH中,根据勾股定理求出FG==FH,代入求出即可.
点评:本题考查了三角形的内角和定理,含30度角的直角三角形性质,矩形的性质,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,勾股定理的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,难度偏大.
矩形ABCD的对角线AC BD相交于点O BE⊥AC于点E 点F在EB延长线上 BF=AC 连接DF交AB于点G.(1)求证:∠ADG=∠CDG;(2)若AO=AG