问题补充:
在直角坐标系xOy?中,已知某二次函数的图象经过A(-4,0)、B(0,-3),与x轴的正半轴相交于点C,若△AOB∽△BOC(相似比不为1).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求△ABC的外接圆半径r;
(3)在线段AC上是否存在点M(m,0),使得以线段BM为直径的圆与线段AB交于N点,且以点O、A、N为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵△AOB∽△BOC(相似比不为1),
∴=,
又∵OA=4,OB=3,
∴OC==,
∴点C(,0),
设图象经过A、B、C三点的函数解析式是y=ax2+bx+c,则:
,
解得,a=,b=,
∴这个函数的解析式是y=x2+x-3;
(2)∵△AOB∽△BOC(相似比不为1),
∴∠BAO=∠CBO.
又∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°
∴AC是△ABC外接圆的直径.
∴r=AC=×(OA+OC)=;
(3)∵点N在以BM为直径的圆上,
∴∠MNB=90°,
①当AN=ON时,点N在OA的中垂线上,
∴点N1是AB的中点,M1是AC的中点.
∴AM1=r=,点M1(-,0),即m1=-;
②当AN=OA时,Rt△AM2N2≌Rt△ABO,
∴AM2=AB=5,点M2(1,0),即m2=1.
③当ON=OA时,点N显然不能在线段AB上.
综上,符合题意的点M(m,0)存在,有两解:
m=-,或1.
解析分析:(1)设二次函数y=ax2+bx+c的解析式,首先求出B点坐标,然后由△AOB∽△BOC,根据相似三角形的对应边成比例,求出OC的长度,得出C点坐标;根据相似三角形的对应角相等得出∠OAB=∠OBC,从而得出∠ABC=90°;由y=ax2+bx+c图象经过点A(-4,0),B(0,-3),运用待定系数法即可求出此二次函数的关系式;
(2)由已知条件证明△ABC是直角三角形,利用直角三角形的外接圆的直径等于其斜边即r=,求解即可;
(3)如果以点O、A、N为顶点的三角形是等腰三角形,那么分三种情况讨论:①当AN=ON时,②当AN=OA时,当ON=OA时,针对每一种情况,都应首先判断M点是否在线段AC上.
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的性质,探究等腰三角形的构成情况等重要知识点,综合性强,能力要求高.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
在直角坐标系xOy?中 已知某二次函数的图象经过A(-4 0) B(0 -3) 与x轴的正半轴相交于点C 若△AOB∽△BOC(相似比不为1).(1)求这个二次函数的