问题补充:
已知函数f?(x)=2x2+x-k,g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,g(x)取得极值-2.
(1)求函数g(x)的单调区间和极大值;
(2)若对任意x∈[-1,3],都有f(x)≤g(x)成立,求实数k的取值范围;
(3)若对任意x1∈[-1,3],x2∈[-1,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数k的取值范围.
答案:
解:(1)∵g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,
∴g(-x)=g(x),可得b=d=0,即g(x)=ax3+cx(a≠0),
又当x=1时,g(x)取得极值-2,∴,即,
解得,故函数g(x)=x3-3x,导函数g′(x)=3x2-3,
令3x2-3=0解得x=±1,当x∈(-∞,-1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
当x∈(-1,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
故当x=-1时,f(x)取到极大值f(-1)=2
(2)f(x)-g(x)=2x2+4x-k-x3,对任意x∈[-1,3],都有f(x)≤g(x)成立,
只需k≥2x2+4x-x3,构造函数F(x)=2x2+4x-x3,x∈[-1,3],F′(x)=-3x2+4x+4,
令],F′(x)=0可得x=2或x=-,当x∈(-1,)时,F′(x)<0,F(x)单调递减
当x∈(,2)时,F′(x)>0,F(x)单调递增,当x∈(2,3)时,F′(x)<0,F(x)单调递减,
当x=2时,F(x)取到极大值F(2)=8,F(-1)=-1,故F(x)的最大值为8,
故实数k的取值范围为:k≥8;
(3)若对任意x1∈[-1,3],x2∈[-1,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,
即f(x)在区间[-1,3]上的最大值都小于或等于g(x)的最小值,
由(1)可知:当x∈[-1,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(1,3]时,g′(x)>0,g(x)单调递增,故当x=1时,函数g(x)取到极小值,
也是该区间的最小值f(1)=-2,
而f?(x)=2x2+x-k为开口向上的抛物线,对称轴为x=,故当x=3时取最大值f(3)=21-k,
由21-k≤-2,解得k≥23
解析分析:(1)由奇函数可得b=d=0,代入可得函数g(x)的解析式,由导数的正负易得单调区间,进而得极值;(2)对任意x∈[-1,3],都有f(x)≤g(x)成立,只需k≥2x2+4x-x3,构造函数F(x)=2x2+4x-x3,x∈[-1,3],由导数法可得函数的最大值,可得
已知函数f?(x)=2x2+x-k g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是R上的奇函数 当x=1时 g(x)取得极值-2.(1)求函数g(x)的单调区间和极大