问题补充:
已知函数f(x)=ln(x+a),g(x)=x3+b,直线l:y=x与y=f(x)相切,
(1)求a的值
(2)若方程f(x)=g(x)在(0,+∞)上有且仅有两个解x1,x2求b的取值范围,并比较x1x2+1与x1+x2的大小.(3)设n≥2时,n∈N*,求证:+…<1
答案:
解:(1)设切(x0,y0),y0=x0,,
∴x0+a=1,且y0=ln(x0+a)=0,∴x0=0,a=1(3分)
(2)ln(x+a)=,得
令h(x)=,
在(0,1)上h′(x)<0,故h(x)在(0,1)单调减
在(1,+∞)上,h′(x)>0,故h(x)在(1,+∞)单调增
∴,若h(x)图在(0,+∞)内x轴有两个不同的交点,则
,此时h(3)=
所b的范围为.(8分)
由上知,方程f(x)=g(x)在(0,+∞)上有且仅有两个x1、x2,满足0<x1<1,x2>1,
∴x1x2+1-(x1+x2)=(1-x1)(1-x2)<0
∴x1x2+1<(x1+x2)
(3)求导数可证f(x)≤x,即ln(x+1)≤x(10分)
故n≥2,n∈N*时,lnn<n-1
∴(12分)
∴(13分)
解析分析:(1)考查导数的几何意义,方程思想解决(2)考查构建函数,利用导数求函数范围,利用图象数形结合列式求解(3)考查利用导数证明不等式,构建函数能力
点评:本题考查导数的综合应用,对学生的能力要求较大,属于难题
已知函数f(x)=ln(x+a) g(x)=x3+b 直线l:y=x与y=f(x)相切 (1)求a的值(2)若方程f(x)=g(x)在(0 +∞)上有且仅有两个解x1