问题补充:
已知函数f(x)=x3+x.
(1)指出f(x)在定义域R上的奇偶性与单调性(只要求写出结论,无须证明);
(2)已知实数a,b,c满足a+b>0,b+c>0,c+a>0,试判断f(a)+f(b)+f(c)与0的大小,并加以证明.
答案:
解:(1)∵函数f(x)=x3+x的定义域为R,关于原点对称
又∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数,
又∵y=x3在R上单调递增,y=x在R上单调递增
∴f(x)=x3+x在定义域R上也为增函数.
(2)由a+b>0,得a>-b,故f(a)>f(-b)=-f(b),于是f(a)+f(b)>0.
同理,f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.
故f(a)+f(b)+f(b)+f(c)+f(c)+f(a)>0,即有f(a)+f(b)+f(c)>0.
解析分析:(1)根据已知中f(x)=x3+x.求出f(-x),并判断f(-x)与f(x)的关系,然后根据函数奇偶性的性质得到函数的奇偶性,分析函数的两个组成部分对应函数的单调性,进而根据“增函数+增函数=增函数”的原则得到
已知函数f(x)=x3+x.(1)指出f(x)在定义域R上的奇偶性与单调性(只要求写出结论 无须证明);(2)已知实数a b c满足a+b>0 b+c>0 c+a>0