问题补充:
如图1,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P,E为BC的中点,过E点的圆O与BD相切于点P,圆O与直线AC,BC分别交于点F,G.
(1)求证:△PCD∽△EPF;
(2)如果AB=AD,AC=6,BD=8(如图2).求圆O的直径.
答案:
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BP=DP,
又∵BE=CE,
∴PE∥DC,
∴∠CPE=∠PCD,
∵BD切⊙O于P,
∴∠DPC=∠PEF,
∴△PCD∽△EPF;
(2)解:∵平行四边形ABCD中,AB=AD,
∴平行四边形ABCD为菱形.
∴AC⊥BD,PB=,
BD=×8=4,PC=,
AC=×6=3,
∴BC=5,
∴BE=CE=,
∵⊙O切BD于P,AC⊥BD,
∴PF为⊙O的直径,
∵PE2=BE?BG,
∴,
∴,
∴OG=BG-BC=,
∵PC?CF=EC?CG,
∴,
∴,
∴⊙O的直径为.
解析分析:(1)由弦切角定理得,∠DPC=∠PEF,由平行四边形的性质和点E是BC的中点得PE∥CD,已知了∠CPE=∠PCD,可证得△PCD∽△EPF.
(2)由AB=AD,可证得平行四边形ABCD是菱形,则它的对角线互相垂直平分;根据勾股定理可求出菱形的边长.由于E是BC中点,可求得BE、EC的长,再根据切割线定理,可求出BG的长,进而可求出CG的长.在⊙O中,根据相交弦定理,可得PC?CF=EC?CG,其中PC、EC、CG的长已求得,由此可求出CF的长.也就求出了PF即圆的直径.
点评:本题综合利用了平行四边形的判定和性质,菱形的判定和性质,切割线定理,圆周角定理,相交弦定理求解.
如图1 平行四边形ABCD的对角线AC BD交于点P E为BC的中点 过E点的圆O与BD相切于点P 圆O与直线AC BC分别交于点F G.(1)求证:△PCD∽△EP