问题补充:
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙0,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙0的切线.
(2)如果⊙0的半径为5,sin∠ADE=,求BF的长.
答案:
(1)证明:连结OD,如图,
∵AB为⊙0的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴AD平分BC,即DB=DC,
∵OA=OB,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴EF是⊙0的切线;
(2)解:∵∠DAC=∠DAB,
∴∠ADE=∠ABD,
在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD==,而AB=10,
∴AD=8,
在Rt△ADE中,sin∠ADE==,
∴AE=,
∵OD∥AE,
∴△FDO∽△FEA,
∴=,即=,
∴BF=.
解析分析:(1)连结OD,AB为⊙0的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论;
(2)由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在Rt△ADE中可计算出AE=,然后由OD∥AE,
得△FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF.
点评:本题考查了切线的判定定理:过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形.
如图 在△ABC中 AB=AC 以AB为直径作半圆⊙0 交BC于点D 连接AD 过点D作DE⊥AC 垂足为点E 交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙0的切线.(