问题补充:
已知边长为4的正方形ABCD,顶点A与坐标原点重合,一反比例函数图象过顶点C,动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动,动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC-CB-BA方向顺时针折线运动,当点P与点Q相遇时停止运动,设点P的运动时间为t.
(1)求出该反比例函数解析式.
(2)连接PD,当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时,求点Q的坐标.
(3)用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s,并指出相应t的取值范围.
答案:
解:(1)∵正方形ABCD的边长为4,
∴C的坐标为(4,4),
设反比例解析式为y=,
将C的坐标代入解析式得:k=16,
则反比例解析式为y=;
(2)当Q在DC上时,如图所示:
此时△APD≌△CQB,
∴AP=CQ,即t=4-4t,解得t=,
则DQ=4t=,即Q1(,4);
当Q在BC边上时,有两个位置,如图所示:
若Q在上边,则△QCD≌△PAD,
∴AP=QC,即4t-4=t,解得t=,
则QB=8-4t=,此时Q2(4,);
若Q在下边,则△APD≌△BQA,
则AP=BQ,即8-4t=t,解得t=,
则QB=,即Q3(4,);
当Q在AB边上时,如图所示:
此时△APD≌△QBC,
∴AP=BQ,即4t-8=t,解得t=,
因为0≤t≤,所以舍去.
综上,;;Q3(4,);
(3)s1=8t(0<t≤1);s2=-2t2+2t+8(1≤t≤2);s3=-10t+24(2≤t≤).
解析分析:(1)根据正方形ABCD的边长为4,可得C的坐标为(4,4),再用待定系数法求出反比例函数解析式;
(2)分点Q在CD,BC,AB边上,根据全等三角形的判定和性质求得点Q的坐标;
(3)分点Q在CD,BC,AB边上,由三角形面积公式和组合图形的面积计算即可求解.
点评:本题考查了正方形的性质,待定系数法求反比例函数解析式,全等三角形的判定和性质,三角形的面积计算,分类思想,综合性较强,有一定的难度.
已知边长为4的正方形ABCD 顶点A与坐标原点重合 一反比例函数图象过顶点C 动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动 动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发