问题补充:
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性;
(2)若a>0,记F(x)=g(x)-f(x),且F(x)在(0,+∞)上有最大值,求a的取值范围.
答案:
解:(1)当a=0时,函数f(x)=|x|是一个偶函数;
当a≠0时,取特值:f(a)=0,f(-a)=2|a|≠0,
故函数f(x)=|x-a|是非奇非偶函数.
(2)对于a>0,
若a>1,F(x)在区间(0,a),[a,+∞)上递增,无最大值;
若a=1,有最大值1
若0<a<1,F(x)在区间(0,a)上递增,在[a,+∞)上递减,F(x)有最大值F(a)=a2;
综上所述得,当0<a≤1时,F(x)有最大值.
解析分析:(1)分两种情况讨论:当a=0时,函数f(x)=|x|是一个偶函数;当a≠0时,通过取特值:x=a时f(-a)与f(a)的关系得出函数f(x)=|x-a|是非奇非偶函数.
(2)利用零点分段法,我们易将函数的解析式化为分段函数的形式,然后根据分段函数单调性的判判断方法,分类讨论,即可得到结论,讨论a的范围,确定最值落在哪个区间,从而求出a的值.
点评:本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数奇偶性的判断及分段函数的图象单调性,关键是要利用零点分段法,我们易将函数的解析式化为分段函数的形式后研究其性质.
已知函数f(x)=|x-a| g(x)=ax(a∈R).(1)讨论函数f(x)的奇偶性;(2)若a>0 记F(x)=g(x)-f(x) 且F(x)在(0 +∞)上有最