问题补充:
如图,在直角坐标平面内,O为原点,抛物线y=ax2+bx经过点A(6,0),且顶点B(m,6)在直线y=2x上.
(1)求m的值和抛物线y=ax2+bx的解析式;
(2)如在线段OB上有一点C,满足OC=2CB,在x轴上有一点D(10,0),连接DC,且直线DC与y轴交于点E.
①求直线DC的解析式;
②如点M是直线DC上的一个动点,在x轴上方的平面内有另一点N,且以O、E、M、N为顶点的四边形是菱形,请求出点N的坐标.(直接写出结果,不需要过程.)
答案:
解:(1)∵顶点B(m,6)在直线y=2x,
∴m=3,
∴B(3,6),把AB两点坐标代入抛物线的解析式得,
,解得,
∴抛物线:y=-x2+4x;
(2)①如图1,作CH⊥OA,BG⊥OA,
∴CH∥BG,
∴=,
∵OC=2CB,
∴=,CH=4,
∴点C的坐标为(2,4)
∵D(10,0)根据题意,解得:,
∴直线DC解析式y=-x+5;
②如图2:∵四边形ENOM是菱形,
∴OS=ES=OE=,
∴NK=,
∵ON∥DE,
∴tan∠NOK=tan∠EDO==,
∴OK=5,
∴N1(-5,),
如图3:∵EM⊥OB,
∴ON=2OC,
∵点C的坐标为(2,4),
∴N2(4,8);
③如图4:
∵直线DC解析式y=-x+5,
∴E(0,5),
设M(x,-x+5),
∵四边形ENOM是菱形,
∴EM=OE=5,即x2+(-x)2=25,解得x=2,
∴M(-2,5+),
∴可设N(-2,y),则|5+-y|=5,解得y=或y=10+(舍去)
∴N3(-2,).
解析分析:(1)先根据抛物线y=ax2+bx的顶点B(m,6)在直线y=2x上可求出m的值,再用待定系数发即可求出此抛物线的解析式;
(2)①作CH⊥OA,BG⊥OA,再根据平行线分线段成比例定理即可得出CH的长,进而求出C点坐标,再根据D点坐标用待定系数法即可求出直线DC解析式;
②根据菱形的性质即可求出符合条件的N点坐标.
点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、菱形的性质、平行线的性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
如图 在直角坐标平面内 O为原点 抛物线y=ax2+bx经过点A(6 0) 且顶点B(m 6)在直线y=2x上.(1)求m的值和抛物线y=ax2+bx的解析式;(2)