问题补充:
已知抛物线y=ax2-5ax+c与直线y=mx+n交于点A(-3,0)点B(5,4),与y轴交于点C.
(1)求抛物线与直线的解析式和点C的坐标.
(2)若点M是直线AB上的抛物线上一点,求△MAB的最大面积.
(3)若点P是直线x=1上一点,是否存在一点P,使△PAB是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:把点A(-3,0)和点B(5,4)代入y=ax2-5ax+c
得
解得,
∴y=-x2+x+4,
把点A(-3,0)和点B(5,4)代入y=mx+n得,
解得,
∴y=x+,
当x=0时,y=-x2+x+4=4,
故C(0,4);
(2)过点M作MF⊥x轴,交直线AB于E,过点B作BN⊥x轴,
设M(m,-m2+m+4)
E(m,m+),
S△MAB=S△AME+S△BME=ME?AF+ME?FN=ME?AN
=(-m2+m+4-m-)×8
=-m2+m+,
∵-<0,
∴当m=-=1时,S最大值=4;
(3)存在;
P点坐标为(1,8)或(1,-8)或(1,-4)或(1,12).
解析分析:(1)将A(-3,0),B(5,4)两点坐标分别代入y=ax2-5ax+c与y=mx+n中,可求a、c及m、n的值,确定抛物线与直线的解析式,令抛物线解析式中x=0,可求点C的坐标;
(2)过点M作MF⊥x轴,交直线AB于E,设M、E两点的横坐标为m,分别用抛物线、直线的解析式表示两点纵坐标,根据S△MAB=S△AME+S△BME,列出关于m的二次函数,求二次函数的最大值;
(3)过点B作BN⊥x轴,由勾股定理求AB,分别以A、B两点为圆心,AB长为半径画弧,与直线x=1交于四个点,由对称性及勾股定理可求四点坐标.
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有一次函数、二次函数解析式的求法,抛物线的顶点公式的运用及三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
已知抛物线y=ax2-5ax+c与直线y=mx+n交于点A(-3 0)点B(5 4) 与y轴交于点C.(1)求抛物线与直线的解析式和点C的坐标.(2)若点M是直线AB