问题补充:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.
(1)求证:AE=GF;
(2)设AE=1,求四边形DEGF的面积.
答案:
(1)证明:∵AB=DC,
∴梯形ABCD为等腰梯形.
∵∠C=60°,
∴∠BAD=∠ADC=120°,
又∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=30°.
∵AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB=30°.
∴∠BDC=90°.
由已知AE⊥BD,
∴AE∥DC.
又∵AE为等腰三角形ABD的高,
∴E是BD的中点,
∵F是DC的中点,
∴EF∥BC.
∴EF∥AD.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∴AE=DF
∵F是DC的中点,DG是梯形ABCD的高,
∴GF=DF,
∴AE=GF.
(2)解:在Rt△AED中,∠ADB=30°,
∵AE=1,
∴AD=2.
在Rt△DGC中∠C=60°,
并且DC=AD=2,
∴DG=.
由(1)知:在平行四边形AEFD中EF=AD=2,
又∵DG⊥BC,
∴DG⊥EF,
∴四边形DEGF的面积=EF?DG=.
解析分析:(1)由等腰三角形的性质(三线合一),可得BE=DE,又由F是CD的中点,可得EF是△DBC的中位线,易得四边形AEFD是平行四边形,即可证得AE=DF=CF;
(2)由(1)可知:EF⊥DG,所以四边形DEGF的面积=EF?DG;根据直角三角形的性质,即可求得EF与DG的长,即可求得四边形的面积.
点评:(1)考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质.此题比较复杂,解题时要注意仔细识图;
(2)此题考查了直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半,解题时要注意对角线互相垂直的四边形面积的求法:对角线积的一半.
如图 在梯形ABCD中 AD∥BC AB=DC=AD ∠C=60° AE⊥BD于点E F是CD的中点 DG是梯形ABCD的高.(1)求证:AE=GF;(2)设AE=1