问题补充:
如图,在梯形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,E、F分别为BM、CM的中点.
(1)求证:四边形MENF是平行四边形;
(2)当梯形ABCD满足什么条件时,四边形MENF是菱形?
(3)若四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的,问AD、BC满足什么关系?
答案:
(1)证明:∵N为BC的中点,E、F分别为BM、CM的中点,
∴NE∥MC,且NE=MC=MF,
∴四边形MENF是平行四边形;
(2)证明:若四边形MENF是菱形,则ME=MF,即MB=MC,
则∠MBC=∠MCB,
∵AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC,∠DMC=∠MCB,
∴∠AMB=∠DMC,
又∵M为AD的中点,
∴AM=DM,
则在△AMB与△DMC中,
∵,
∴△AMB≌△DMC(SAS),
∴AB=DC(全等三角形的对应边相等).
即:当梯形ABCD是等腰梯形时,四边形MENF是菱形;
(3)证明:∵NE,NF为△MBC的中位线,
∴S四边形MENF=S△MBC,
要使S四边形MENF=S梯形ABCD,即S△MBC=S梯形ABCD,
∴S△MBC=S梯形ABCD,
而S梯形ABCD=S△MBC+S△ABM+S△DCM,
设AD与BC之间的距离为h,
则?BC?h=×(BC?h+AM?h+DM?h),
即BC=(BC+AD),得BC=2AD.
故当BC=2AD时,四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的.
解析分析:(1)利用三角形中位线定理证得NE∥MC,且NE=MC=MF,然后由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”推知四边形MENF是平行四边形;
(2)利用全等三角形的判定定理SAS证得△AMB≌△DMC;然后由全等三角形的对应边相等推知AB=CD,即梯形ABCD是等腰梯形时,四边形MENF是菱形;
(3)由三角形中位线定理与三角形的面积公式知S四边形MENF=S△MBC、已知条件S四边形MENF=S梯形ABCD、图形知S梯形ABCD=S△MBC+S△ABM+S△DCM,据此可以求得AD与BC的数量关系.
点评:本题考查了等腰梯形的性质、菱形的性质、三角形中位线定理以及全等三角形判定与性质.菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.
如图 在梯形ABCD中 M N分别为AD BC的中点 E F分别为BM CM的中点.(1)求证:四边形MENF是平行四边形;(2)当梯形ABCD满足什么条件时 四边形