问题补充:
已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是A.(-∞,0)B.(0,)C.(0,1)D.(0,+∞)
答案:
B
解析分析:先求导函数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx-2ax+1有两个零点,等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象.由图可求得实数a的取值范围.
解答:解:函数f(x)=x(lnx-ax),则f′(x)=lnx-ax+x(-a)=lnx-2ax+1,
令f′(x)=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1,
函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx-2ax+1有两个零点,
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点,
在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)
当a=时,直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切,
由图可知,当0<a<时,y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点.
则实数a的取值范围是(0,).
故选B.
点评:本题主要考查函数的零点以及数形结合方法,数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷.
已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点 则实数a的取值范围是A.(-∞ 0)B.(0 )C.(0 1)D.(0 +∞)