问题补充:
如图,在△ABC中,中线BD、CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)当AB=AC时,判断四边形DEFG的形状;
(3)连接OA,当OA=BC时,判断四边形DEFG的形状,并证明你的结论.
答案:
(1)证明:∵D、E分别为AC、AB的中点
∴ED∥BC,.
同理FG∥BC,,
∴ED∥FG,ED=FG,
∴四边形DEFG是平行四边形;
(2)解:如图1,当AB=AC时,?DEFG变成矩形.理由如下:
连接AO并延长交BC于点M.
∵三角形的三条中线相交于同一点,△ABC的中线BD、CE交于点O,
∴M为BC的中点,
当AB=AC时,AM⊥BC,
∵E,F,G分别是AB,OB,OC的中点,
∴EF∥AO,FG∥BC,
∴EF⊥FG;
∴?EFGH是矩形.
(3)解:如图2,当OA=BC时,四边形DEFG是菱形.
∵D、G分别是AC、OC的中点
∴.
∵OA=BC
∴DG=FG.
∵四边形DEFG是平行四边形
∴四边形DEFG是菱形.
解析分析:(1)利用三角形中位线定理推知ED∥FG,ED=FG,则由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形DEFG是平行四边形;
(2)矩形.连接AO并延长交BC于点M,先由三角形中线的性质得出M为BC的中点,当AB=AC时,由等腰三角形三线合一的性质得出AM⊥BC,再由三角形中位线的性质及平行线的性质得出EF⊥FG,从而证明?EFGH是矩形.
(3)利用三角形中位线定理证得平行四边形DEFG的邻边DG=FG.则四边形DEFG是菱形.
点评:本题考查了平行四边形、矩形的判定,三角形的中位线性质定理,三角形中线的性质及等腰三角形的性质,其中三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据.
如图 在△ABC中 中线BD CE相交于点O F G分别是OB OC的中点.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)当AB=AC时 判断四边形DEFG的形状;(