问题补充:
如图1,平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC,O为原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(,1),在BC边上选取适当的点D,将△OCD沿OD翻折,点C落在点E处,得到△OED.
(1)若点E与点A、点B构成等腰三角形,求点E的坐标;
(2)若点E在一次函数y=2x-1的图象上(如图2),求点D的坐标;
(3)当线段OD与直线EA垂直时(如图3),求△CDE的外接圆的半径.
答案:
解:(1)∵B(,1),
∴AB=OC=1,
OB==2,
根据翻折的性质,OE=OC=1,
①AB=BE时,则OE+BE=OB=2,
所以,点O、E、B三点共线,且点E是OB的中点,
∵O(0,0),B(,1),
∴点E的坐标为(,),
②AE=BE时,根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在AB的垂直平分线上,
所以,点E的纵坐标为,
过点E作EF⊥OA于点F,则OF===,
所以,点E的坐标为(,),
③AE=AB时,∵OE=AE=1,
∴点E在OA的垂直平分线上,
∴OF=OA=,
∴EF===,
∴点E的坐标为(,),
综上所述,点E的坐标为(,);
(2)如图2,过点E作OC的平行线交BE于F,交OA于G,可得EF⊥BC,EG⊥OA,
∵点E在一次函数y=2x-1的图象上,
∴设点E坐标为(a,2a-1),
在Rt△OEG中,OE2=EG2+OG2,
即12=(2a-1)2+a2,
整理得,5a2-4a=0,
解得a1=0(舍去),a2=,
∴OG=,EG=2×-1=,
∴EF=FG-EG=1-=,
根据翻折,∠DEO=∠OCD=90°,
∴∠DEF+∠OEG=180°-90°=90°,
∵∠EOG+∠OEG=90°,
∴∠EOG=∠DEF,
又∵∠EDF=∠OGE=90°,
∴△OGE∽△EFD,
∴=,
即=,
解得DF=,
∴CD=CF-DF=OG-DF=-=,
∴点D的坐标为(,1);
(3)如图3,连接CE,根据翻折对称性,CE⊥OD,
∵AE⊥OD,
∴A、E、C三点共线,
∵∠OAE+∠OCE=90°,∠COD+∠OCE=90°,
∴∠OAE=∠COD,
矩形OABC的对角线AC=OB=2,
∵cos∠OAE==,
cos∠COD==,
∴=,
解得OD=,
∵OD是Rt△OCD与Rt△ODE的斜边,
∴点O、C、D、E四点共圆,且OD是外接圆的直径,
∴△CDE的外接圆的半径为:OD=×=.
解析分析:(1)分①AB=BE时,根据勾股定理求出OB=2,从而判断出O、E、B三点共线,从而确定点E为矩形OABC的中心,然后根据点B的坐标写出即可;
②AE=BE,然后根据等腰三角形三线合一的性质可以判定点E的纵坐标为,再根据翻折的性质可得OE=OC=1,过点E作EF⊥OA于点F,根据勾股定理求出OF的长度,即可得到点E的坐标;
③AE=AB时,可以得到AE=OE,根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在OA的垂直平分线上,然后利用勾股定理求出点E到OA的距离EF的长度,即可得解;
(2)过点E作OC的平行线交BE于F,交OA于G,可得EF⊥BC,EG⊥OA,然后根据直线解析式设出点E的坐标,利用勾股定理列式求解得到点E的坐标,然后证明△OGE和△EFD相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出DF的长度,然后求出CD的长度,即可得到点D的坐标;
(3)连接CE,根据翻折的对称性可得CE⊥OD,再根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得A、E、C三点共线,再根据直角三角形两锐角互余求出∠OAE=∠COD,再根据勾股定理求出AC的长度,然后利用∠OAE与∠COD的余弦值相等列式求解即可得到OD的长度,再证明△CDE的外接圆是以OD为直径的圆,从而得解.
点评:本题是对一次函数的综合考查,主要利用了翻折变换的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,以及相似三角形的判定与性质,(1)要根据等腰三角形的腰进行讨论,(2)先根据直线解析式求出点E的坐标是解题的关键,(3)判断出点A、E、C三点共线是解题的关键.
如图1 平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC O为原点 点A C分别在x轴 y轴上 点B的坐标为( 1) 在BC边上选取适当的点D 将△OCD沿OD翻折 点C落在点E