问题补充:
如图,△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C.
(1)求证:DC=BD+AB;
(2)若设CD=a、BD=b、AB=c,试说明方程x2-ax+bc=0有两个不相等的实数根;
(3)若方程x2-ax+bc=0的一根是另一根的2倍,试判断△ABC的形状.
答案:
(1)证明:在BC上取点E,使BD=DE,
∵AD⊥BC,
∴AB=AE,
∴∠AEB=∠ABC=2∠C,
∴∠C=∠EAC
∴EC=EA=AB,
∴CD=DE+EC=BD+AB??????????????????????????????????
(2)解:由(1)得:
∵a2-4bc=(b+c)2-4bc=(b-c)2
又c>b,即c≠b,
∴(b-c)2>0,
∴方程x2-ax+bc=0有两个不相等的实数根.?
(3)解:设方程的两根为k,2k,
代入得k2-ak+bc=0①及4k2-2ak+bc=0②,
由②-4×①得k=,代入①得2-a?+bc=0,
化简得9bc=2a2,
又∵a2=(b+c)2
代入得2b2-5bc+2c2=0,(2b-c)(b-2c)=0,
∵b<c,
∴c=2b
∵AD⊥BC,
∴∠B=60°,
∴∠C=30°,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC为直角三角形.
解析分析:(1)在BC上取点E,使BD=DE,推出AB=AE=EC,从而推出CD=BD+AB;
(2)计算出根的判别式,通过配方及(1)中结论,证出根的判别式大于0,从而判定方程有两个不相等的实数根;
(3)设方程的两根为k,2k,代入得k2-ak+bc=0①及4k2-2ak+bc=0②,求出c=2b,再根据∠B=60°,∠C=30°,∠BAC=90°,证出△ABC为直角三角形.
点评:本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等腰三角形的判定与性质,作出辅助线AE=AB是解题的关键.
如图 △ABC中 AD⊥BC于D ∠B=2∠C.(1)求证:DC=BD+AB;(2)若设CD=a BD=b AB=c 试说明方程x2-ax+bc=0有两个不相等的实数