问题补充:
如图,已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是________.
答案:
解析分析:(1)首先,需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹),如答图②所示.利用相似三角形可以证明;
(2)其次,如答图①所示,利用相似三角形△AB0Bn∽△AON,求出线段B0Bn的长度,即点B运动的路径长.
解答:解:由题意可知,OM=,点N在直线y=-x上,AC⊥x轴于点M,则△OMN为等腰直角三角形,ON=OM=×=.
如答图①所示,设动点P在O点(起点)时,点B的位置为B0,动点P在N点(起点)时,点B的位置为Bn,连接B0Bn.
∵AO⊥AB0,AN⊥ABn,∴∠OAC=∠B0ABn,
又∵AB0=AO?tan30°,ABn=AN?tan30°,∴AB0:AO=ABn:AN=tan30°,
∴△AB0Bn∽△AON,且相似比为tan30°,
∴B0Bn=ON?tan30°=×=.
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).
如答图②所示,当点P运动至ON上的任一点时,设其对应的点B为Bi,连接AP,ABi,B0Bi.
∵AO⊥AB0,AP⊥ABi,∴∠OAP=∠B0ABi,
又∵AB0=AO?tan30°,ABi=AP?tan30°,∴AB0:AO=ABi:AP,
∴△AB0Bi∽△AOP,∴∠AB0Bi=∠AOP.
又∵△AB0Bn∽△AON,∴∠AB0Bn=∠AOP,
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn,
∴点Bi在线段B0Bn上,即线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).
综上所述,点B运动的路径(或轨迹)是线段B0Bn,其长度为.
故
如图 已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点 AC⊥x轴于点M 交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点 ∠APB=30° BA⊥PA 则点P在线段ON上