问题补充:
已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,0<f(x)<1,且对于任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).
(1)求f(0);
(2)求证:f(x)>0恒成立;
(3)判断并证明函数f(x)在R上的单调性.
答案:
解:(1)令y=0,x=-1,得f(-1)=f(-1)f(0)…
∵x<0时,0<f(x)<1,
∴f(-1)>0…
∴f(0)=1…
(2)∵当x<0时,0<f(x)<1
∴当x>0,则-x<0,令y=-x,得f(0)=f(x)f(-x)
得…
故对于任意x∈R,都有f(x)>0…
(3)设x1,x2∈R,且x1<x2,
则x1-x2<0,∴0<f(x1-x2)<1…
∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)f(x2)<f(x2)…
∴函数f(x)在R上是单调递增函数…
解析分析:(1)令y=0,x=-1,由f(x+y)=f(x)f(y)得:f(-1)=f(-1)f(0),进而得到f(0)=1
(2)由已知中:当x<0时,0<f(x)<1,可得x>0时,-x<0,令y=-x,可由(1)的结论,证得f(x)>0恒成立;
(3)设x1,x2∈R,且x1<x2,结合当x<0时,0<f(x)<1,可得f(x1)<f(x2),进而根据函数单调性的定义,可得函数f(x)在R上的单调性.
点评:本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的奇偶性与函数的单调性,函数恒成立问题,函数函数图象和性质的综合应用,难度中档.
已知函数f(x)的定义域为R 当x<0时 0<f(x)<1 且对于任意的实数x y∈R 有f(x+y)=f(x)f(y).(1)求f(0);(2)求证:f(x)>0恒