问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数y=(x<0)图象上的任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B.
(1)判断P是否在线段AB上,并说明理由;
(2)求△AOB的面积;
(3)Q是反比例函数y=(x<0)图象上异于点P的另一点,请以Q为圆心,QO为半径画圆与x、y轴分别交于点M、N,连接AN、MB.试探索AN与MB的位置关系,并说明理由.
答案:
(1)解:点P在线段AB上,理由如下:
如图1,∵点O在⊙P上,且∠AOB=90°
∴AB是⊙P的直径,
∴点P在线段AB上.
(2)解:如图1,过点P作PP1⊥x轴,PP2⊥y轴,
由题意可知PP1、PP2,都是△AOB的中位线,
故S△AOB=OA×OB=×2PP2×2PP1
P是反比例函数y=(x<0)图象上的任意一点,
∴S△AOB=2PP1×2PP2=4××|-4|=8.
(3)解:AN∥MB.理由如下:
如图2,连接MN,则MN过点Q,且S△MON=S△AOB=8.
∴OA?OB=OM?ON
∴=
∵∠AON=∠MOB
∴△AON∽△MOB
∴∠OAN=∠OMB
∴AN∥MB.
解析分析:(1)点P在线段AB上,由O在⊙P上,且∠AOB=90°得到AB是⊙P的直径,由此即可证明点P在线段AB上;
(2)如图,过点P作PP1⊥x轴,PP2⊥y轴,由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线,故S△AOB=OA×OB=×2PP1×PP2而P是反比例函数y=(x<0)图象上的任意一点,由此即可求出PP1×PP2=4,代入前面的等式即可求出S△AOB;
(3)如图,连接MN,根据(1)(2)则得到MN过点Q,且S△MON=S△AOB=12,然后利用三角形的面积公式得到OA?OB=OM?ON,然后证明△AON∽△MOB,最后利用相似三角形的性质即可解决问题.
点评:此题分别考查了反比例函数图象上点的坐标特点、相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理及圆周角定理,综合性比较强,要求学生熟练掌握这些基础知识才能很好解决这类综合性的问题.
如图 在平面直角坐标系中 O为坐标原点 P是反比例函数y=(x<0)图象上的任意一点 以P为圆心 PO为半径的圆与x y轴分别交于点A B.(1)判断P是否在线段AB