问题补充:
已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴、y轴的交点分别为A、B,OB=3,tan∠OAB=,将∠OBA对折,使点O的对应点H恰好落在直线AB上,折痕交x轴于点C,
(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点Q是抛物线上一个动点,使得以A、B、Q为顶点并且以AB为直角边的直角三角形,直接写出Q点坐标.
答案:
解:(1)∵在Rt△BOA中,OB=3,tan∠OAB=,
∴OA=4,AB=5,
∴A(4,0),B(0,3)
设C(m,0),连接CH,如图,由对称性知,CH=OC=m,BH=BO=3,∠BHC=∠BOC=90°,
∴AH=AB-BH=2,AC=4-m,
∴在Rt△CHA中,由CH2+AH2=AC2,即 m2+22=(4-m)2,得:m=,
∴C(,0)
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为 y=a(x-)(x-4),将x=0,y=3代入抛物线的解析式,得?a=,
∴y=(x-)(x-4)=x2-x+3,
即过A、B、C三点的抛物线的解析式为?y=x2-x+3.
(2)y=x2-x+3=(x-)2-,
∴抛物线的对称轴为直线 x=,顶点D的坐标为(,-),
由B(0,3),C(,0)可求得直线BC的解析式:y=-2x+3.
由图示知,若点P在直线BC上,且四边形OPAD是平行四边形,只有OPAD一种情况,此时D、P关于线段OA的中点对称;
由A(4,0)知,OA的中点(2,0),则P(,);
当x=时,y=-2x+3=-2×+3=≠,所以点P不在直线BC上,与题意不合;
∴直线BC上不存在符合题意的点P,使得四边形ODAP为平行四边形.
(3)由A(4,0)、B(0,3)可得,直线AB:y=-x+3;
取直线l⊥AB,则 kl?kAB=-1,即 kl=,可设直线l:y=x+b;
①当直线l过点B时,直线l与抛物线的交点为点Q;
将B(0,3)代入y=x+b中,得:b=3,
即直线l:y=x+3,联立抛物线的解析式,得:
,解得、
∴Q1(,);
②当直线l过点A时,直线l与抛物线的交点为点Q;
同①可求得:Q2(,);
综上,得:Q1(,)、Q2(,).
解析分析:(1)欲求抛物线的解析式,需用待定系数法,那么就必须首先求出A、B、C三点的坐标;已知OB的长,在Rt△AOB中,根据∠OAB的正切值即可得到OA的长,则A、B点的坐标可得;连接CH,根据题意不难看出点O、H关于直线BC对称,所以OC=CH、BH=BO,设出点C的坐标,然后用其横坐标表达出OC、CH、AH的长,在Rt△ACH中,根据勾股定理即可确定点C的坐标;所有条件已求得,则题目可解.
(2)将(1)的抛物线解析式写成顶点式,则点D的坐标可得;若四边形ADAP是符合条件的平行四边形,根据图示可以看出,只有OA作对角线,那么P、D关于线段OA的中点对称,可据此先得到点P的坐标,然后代入直线BC的解析式中进行验证.
(3)AB为Rt△ABQ的直角边,那么点B或点A应为直角三角形的直角顶点,即直线BQ(或直线AQ)、直线AB的斜率乘积为-1,首先求出直线AB的解析式,在确定出直线BQ(或直线AQ)的斜率后,代入点B(点A)的坐标,求出直线BQ(或直线AQ)的解析式,联立抛物线的解析式后即可求出点Q的坐标.
点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定、勾股定理的应用、平行四边形的性质和判定、直角三角形的判定、垂直直线间的斜率关系等综合知识;(2)题中,根据图示先确定点P的位置可以大大的减少计算量;(3)题中,以AB为直角边包括了A、B分别为直角顶点两种情况,应分类进行讨论.
已知:如图 在平面直角坐标系xOy中 直线AB与x轴 y轴的交点分别为A B OB=3 tan∠OAB= 将∠OBA对折 使点O的对应点H恰好落在直线AB上 折痕交x