问题补充:
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧,且AB=8),与y轴交于点C,其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OA、OC的长(OA<OC)是方程x2-14x+48=0的两个根.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)解方程x2-14x+48=0得x1=6,x2=8,
由题意得
A(-6,0),C(0,8),B(2,0)
∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上,∴c=8,
将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式,得,
解得.
∴所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8;
(2)依题意,AE=m,则BE=8-m,
∵OA=6,OC=8,∴AC=10.
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BAC,
∴=即=,
∴EF=.…
过点F作FG⊥AB,垂足为G,
则sin∠FEG=sin∠CAB=,
∴=,
∴FG=?=8-m,
∴S=S△BCE-S△BFE=(8-m)×8-(8-m)(8-m)
=(8-m)(8-8+m)=(8-m)m=-m2+4m.
自变量m的取值范围是0<m<8;
(3)存在.
理由:∵S=-m2+4m=-(m-4)2+8且-<0,
∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8.
∵m=4,∴点E的坐标为(-2,0),
∴△BCE为等腰三角形.
解析分析:(1)根据知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧,且AB=8),与y轴交于点C,其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OA、OC的长(OA<OC)是方程x2-14x+48=0的两个根.
求出两根,根据题意得出A,B,C的坐标,从而可求出抛物线的解析式.
(2)依题意,AE=m,则BE=8-m,证明出相似三角形以及根据相似三角形的对应线段成比例,和三角函数的运用,以及根据三角形的面积的差做为等量关系求出s和m的函数式.
(3)在(2)的基础上试说明S存在最大值,可求出S的值,并且可知道△BCE是等腰三角形.
点评:本题考查二次函数的综合运用,关键是根据坐标确定二次函数式,求出s和m的函数关系式,以及看看是否有最大值,确定三角形的形状.
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A B两点(点B在点A的右侧 且AB=8) 与y轴交于点C 其中点A在x轴的负半轴上 点C在y轴的正半轴上 线段OA OC的长