问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y的正半轴上,点B的坐标是(5,3),抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一个交点是点D,连接BD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是抛物线对称轴上的一点,以M、B、D为顶点的三角形的面积是6,求点M的坐标;
(3)点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动,当点P到达点B时,P、Q同时停止运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?请直接写出所有符合条件的值.
答案:
解:(1)∵矩形ABCD,B(5,3),
∴A(5,0),C(0,3).
∵点A(5,0),C(0,3)在抛物线y=x2+bx+c上,
∴,解得:b=,c=3.
∴抛物线的解析式为:y=x2x+3.
(2)如答图1所示,
∵y=x2x+3=(x-3)2-,
∴抛物线的对称轴为直线x=3.
如答图1所示,设对称轴与BD交于点G,与x轴交于点H,则H(3,0).
令y=0,即x2x+3=0,解得x=1或x=5.
∴D(1,0),∴DH=2,AH=2,AD=4.
∵tan∠ADB==,∴GH=DH?tan∠ADB=2×=,
∴G(3,).
∵S△MBD=6,即S△MDG+S△MBG=6,
∴MG?DH+MG?AH=6,
即:MG×2+MG×2=6,
解得:MG=3.
∴点M的坐标为(3,)或(3,).
(3)在Rt△ABD中,AB=3,AD=4,则BD=5,∴sinB=,cosB=.
以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,则:
①若PD=PQ,如答图2所示:
此时有PD=PQ=BQ=t,过点Q作QE⊥BD于点E,
则BE=PE,BE=BQ?cosB=t,QE=BQ?sinB=t,
∴DE=t+t=t.
由勾股定理得:DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2,
即(t)2+(t)2=42+(3-t)2,
整理得:11t2+6t-25=0,
解得:t=或t=-5(舍去),
∴t=;
②若PD=DQ,如答图3所示:
此时PD=t,DQ=AB+AD-t=7-t,
∴t=7-t,
∴t=;
③若PQ=DQ,如答图4所示:
∵PD=t,∴BP=5-t;
∵DQ=7-t,∴PQ=7-t,AQ=4-(7-t)=t-3.
过点P作PF⊥AB于点F,则PF=PB?sinB=(5-t)×=4-t,BF=PB?cosB=(5-t)×=3-t.
∴AF=AB-BF=3-(3-t)=t.
过点P作PE⊥AD于点E,则PEAF为矩形,
∴PE=AF=t,AE=PF=4-t,∴EQ=AQ-AE=(t-3)-(4-t)=t-7.
在Rt△PQE中,由勾股定理得:EQ2+PE2=PQ2,
即:(t-7)2+(t)2=(7-t)2,
整理得:13t2-56t=0,
解得:t=0(舍去)或t=.
∴t=.
综上所述,当t=,t=或t=时,以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.
解析分析:(1)求出点A、C的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)如答图1所示,关键是求出MG的长度,利用面积公式解决;注意,符合条件的点M有2个,不要漏解;
(3)△DPQ为等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论:
①若PD=PQ,如答图2所示;
②若PD=DQ,如答图3所示;
③若PQ=DQ,如答图4所示.
点评:本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、解直角三角形、勾股定理等知识点.分类讨论的数学思想是本题考查的重点,在第(2)(3)问中均有所体现,解题时注意全面分析、认真计算.
如图 在平面直角坐标系中 点O是原点 矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上 顶点C在y的正半轴上 点B的坐标是(5 3) 抛物线y=x2+bx+c经过A C两点 与x