问题补充:
已知:AB为⊙O的直径,P为AB弧的中点.
(1)若⊙O′与⊙O外切于点P(见图甲),AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D,连接CD,则△PCD是______三角形;
(2)若⊙O′与⊙O相交于点P、Q(见图乙),连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F,请选择下列两个问题中的一个作答:
问题一:判断△PEF的形状,并证明你的结论;
问题二:判断线段AE与BF的关系,并证明你的结论.
我选择问题______,结论:______.
答案:
解:(1)△PCD是等腰直角三角形.
连接OO,则OO过点P;
∵AB为⊙O的直径,P为AB弧的中点,
∴∠APB=90°,AP=BP,
∴∠DPC=90°,∠A=45°,
又∵AO=BO,
∴∠APO=45°,
∴∠CPO=45°,
∵CD是直径,
∴OP=OC,
∴∠C=∠OPC=45°,
同理可得∠D=45°,
∴∠C=∠D,
∴CP=DP,
∴△PCD是等腰直角三角形;
(2)选择问题一,△PEF是等腰直角三角形.
证明:连接PA、PB,
∵AB是直径,
∴∠AQB=∠EQF=90°,
∴EF是⊙O′的直径,
∴∠EPF=90°,
在△APE和△BPF中:
∵PA=PB,∠PBF=∠PAE,∠APE=90°+∠EPB=∠BPF,
∴△APE≌△BPF,
∴PE=PF,
∴△PEF是等腰直角三角形;
选择问题二,AE=BF.
证明:连接PA、PB,
根据(1)的结论,
在△APE和△BPF中:
∵PA=PB,∠PBF=∠PAE,∠APE=90°+∠EPB=∠BPF,
∴△APE≌△BPF,
∴AE=BF.
∵AB、EF分别是直径,
∴∠AQB=∠EQF.
及AE垂直且相等与BF.
解析分析:(1)根据直径所对的圆周角是直角以及等弧对等弦进行证明;
(2)根据直径所对的圆周角是直角得到∠AQB=90°,根据对顶角相等得到∠EQF=90°.再根据90°的圆周角所对的弦是直径,得到EF是直径.从而得到∠EPF=90°;根据(1)中的结论,连接AP、BP.可证△APE≌△BPF,即证AE=BF.
点评:熟练运用圆周角定理的推论和等弧对等弦的性质,能够构造全等三角形.
已知:AB为⊙O的直径 P为AB弧的中点.(1)若⊙O′与⊙O外切于点P(见图甲) AP BP的延长线分别交⊙O′于点C D 连接CD 则△PCD是______三角形