问题补充:
如图1,已知C、D是双曲线在第一象限内的分支上两点,直线CD分别交x轴、y轴于A、B,CG⊥x轴于G,DH⊥x轴于H,==,OC=.
(1)求m的值和D点的坐标;
(2)在双曲线第一象限内的分支上是否有一点P,使得S△POC=S△POD?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,点K是双曲线在第三象限内的分支上的一动点,过点K作KM⊥y轴于M,OE平分∠KOA,KE⊥OE,KE交y轴于N,直线ME交x轴于F,①,②,有一个为定值,请你选择正确结论并求出这个定值.
答案:
解:(1)∵(已知),
∴设OG=a,GC=4a
∵OG2+GC2=OC2(勾股定理),OC=,
∴
∴a2=1
∵a>0,
∴a=1,
∴OG=1,GC=4,
∴C(1,4);
把?C(1,4)代入得:m=1×4=4,即m=4;
∵=(已知)
∴设DH=b,OH=4b,
∴D(4b,b),
把D(4b,b)代入得:4b2=4b=1
∵b>0,∴b=1
∴DH=1,OH=4,
∴D(4,1);
(2)在双曲线第一象限内的分支上有一点P,使得S△POC=S△POD.
理由如下:由(1)知,C(1,4)、D(4,1),
∴DO=CO=(勾股定理).
如图1,过P作PM⊥OC,PN⊥OD,
要使S△POC=S△POD
∴PM=PN,
∴P在∠COD的角平分线上;
在Rt△OGC和Rt△DHO中,
∵,
∴Rt△OGC≌Rt△DHO(HL),
∴∠OCG=∠DOH(全等三角形的对应角相等);
又∵CG∥BO,
∴∠OCG=∠BOC(两直线平行,内错角相等),
∴∠BOC=∠DOH(等量代换),即PO平分∠BOA,
∴∠POA=45°.??
过P作PQ⊥x轴于点Q,则PQ=OQ.
故设P(a,a)(a>0),则a==,
解得,a=2,
∴点P的坐标为(2,2);
(3)结论①对,;
证明如下:如图2,延长OE、KM交于Q,连接NQ.∵KM⊥y轴,
∴KM∥OF,
∴∠KQO=∠FOQ,
又∵OE平分∠KOA,
∴∠KQO=∠FOQ=∠KOQ(等量代换),
∴KQ=KO、OE=EQ
即KE是OQ中垂线,
∴ON=QN,
易证△OEF≌△QEM,
∴MQ=OF,
在Rt△MNQ中,QN2=MQ2+MN2,
即ON2=OF2+MN2
.
解析分析:(1)设OG=a,GC=4a.在直角三角形OGC中根据勾股定理求得a的值,从而求得点C的坐标;然后利用待定系数法求得m值;最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得点D的坐标;
(2)过P作PM⊥OC,PN⊥OD.由三角形面积的等积转换推知PM=PN,根据角平分线的性质证得P在∠COD的角平分线上;然后通过全等三角形Rt△OGC≌Rt△DHO(HL)的对应角∠OCG=∠DOH、平行线的性质、等量代换推得PO平分∠BOA;最后由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点P(a,a)的坐标为(2,2);
(3)结论①对,;如图2,如图2,延长OE、KM交于Q,连接NQ.根据角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质推知KQ=KO、OE=EQ,即KE是OQ中垂线,所以
ON=QN,易证△OEF≌△QEM,由全等三角形的对应边相等知MQ=OF;最后在Rt△MNQ中,根据勾股定理求得QN2=MQ2+MN2,即ON2=OF2+MN2.
点评:本题考查了反比例函数综合题.解题时,还借用了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征.
如图1 已知C D是双曲线在第一象限内的分支上两点 直线CD分别交x轴 y轴于A B CG⊥x轴于G DH⊥x轴于H == OC=.(1)求m的值和D点的坐标;(2)