问题补充:
如图1,AD是圆O的直径,BC切圆O于点D,AB、AC与圆O相交于点E、F.
(1)求证:AE?AB=AF?AC;
(2)如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得图2,或向下平移得图3,此时,AE?AB=AF?AC是否仍成立?若成立,请证明,若不成立,说明理由.
答案:
(1)证明:如图1,连接DE.
∵AD是圆O的直径,
∴∠AED=90°.
又∵BC切圆O于点D,
∴AD⊥BC,∠ADB=90°.
在Rt△AED和Rt△ADB中,∠EAD=∠DAB,
∴Rt△AED∽Rt△ADB.
∴,即AE?AB=AD2
同理连接DF,可证Rt△AFD∽Rt△ADC,AF?AC=AD2
∴AE?AB=AF?AC.
(2)解:AE?AB=AF?AC仍然成立.
证明:如图2,连接DE,因为BC在上下平移时始终与AD垂直,设垂足为D,则∠AD′B=90°
∵AD是圆O的直径,
∴∠AED=90°
又∵∠D′AB=∠EAD,∠AED=∠AD′B,
∴Rt△AD′B∽Rt△AED
∴
AE?AB=AD′?AD
同理AF?AC=AD′?AD
∴AE?AB=AF?AC
同理可证,当直线BC向下平移与圆O相离如图3时,AE?AB=AF?AC仍然成立.
解析分析:(1)可通过构建相似三角形来求证.连接DE、DF,通过证三角形AED、ADB和三角形AFD、ADC相似,得出AE、AB以及AF、AC和AD之间的关系,通过AD这个中间值来得出所求的比例关系.
(2)依然成立,因为这要能证得(1)中的两个三角形相似,就能得出(1)中的结论,BC上上平移的过程中,两个三角形相似的条件(一个公共角,一组直角)没有改变,因此仍相似,所以(1)中的结论仍成立.
点评:本题主要考查了相似三角形的判定和性质,通过构建相似三角形得出与所求相关的线段间的比例是解题的关键.
如图1 AD是圆O的直径 BC切圆O于点D AB AC与圆O相交于点E F.(1)求证:AE?AB=AF?AC;(2)如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得图2